Le Blog des mathématiques concrètes.

26 octobre 2018

Le cyclondrome du rasoir électrique.

 

 

georgescu

 

Nicholas Georgescu-Roegen, 1906-1994

Le roumain Nicholas Georgescu-Roegen, initialement mathématicien spécialisé en statistiques, a ensuite bifurqué vers les sciences économiques. Son principal apport dans ce domaine est une nouvelle approche de l'économie, approche dite "thermodynamique". Elle est en opposition avec l'approche classique qui repose principalement sur la loi de l'offre et de la demande, qui est un peu pour l'économie classique ce qu'est la loi de gravitation universelle pour la mécanique newtonienne. Pour cela, il introduit le concept thermodynamique (voir son deuxième principe) d'entropie et voilà comment lui-même résume son point de vue:

"L'économiste non orthodoxe que je suis ajouterait que ce qui entre dans le processus économique consiste en ressources naturelles de valeur et que ce qui en est rejeté consiste en déchets sans valeur. Or, cette différence qualitative se trouve confirmée, quoique en termes différents, par une branche particulière et même singulière de la physique connue sous le nom de thermodynamique. Du point de vue de la thermodynamique, la matière-énergie absorbée par le processus économique l'est dans un état de basse entropie et elle en sort dans un état de haute entropie"

On trouvera le developpement complet de sa théorie sur le lien suivant:

http://classiques.uqac.ca/contemporains/georgescu_roegen_nicolas/decroissance/la_decroissance.pdf

Sa théorie débouche sur cette conséquence logique: seule une décroissance programmée permettra à moyen et à long terme à l'humanité de ne pas tomber sur l'impasse totale où, d'après lui, nous amènent actuellement les politiques de croissance, même quand elles prétendent être durables.

Il termine le chapitre 2 de son ouvrage phare (version française sous le titre "La décroissance Entropie – Écologie - Économie" publié pour la première fois en 1979) par un "programme bioéconomique minimal" en huit points dont le dernier est le suivant:

"En accord forcé avec tout ce que nous avons dit jusqu'ici, il nous faut nous guérir nous-mêmes de ce que j'ai appelé « le cyclondrome du rasoir électrique »  qui consiste à se raser plus vite afin d'avoir plus de temps pour travailler à un appareil qui rase plus vite encore, et ainsi de suite à l'infini. Ce changement conduira à un émondage considérable des professions qui ont piégé l'homme dans le vide de cette régression indéfinie. Nous devons nous faire à l'idée que toute existence digne d'être vécue a comme préalable indispensable un temps suffisant de loisir utilisé de manière intelligente."

C'est ce dernier point qui nous a donné l'idée de ce problème:

Trouver une modélisation mathématique simple du "cyclondrome du rasoir électrique". En étudier ensuite la résolution (existence éventuelle d'une solution, son unicité, obtention d'une solution explicite ou numérique).

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16 septembre 2018

Pollution au mercure en Guyane: mon point de vue à partir d'un article de recherche sur la question.

riviere guyane

M'interessant au problème de la pollution par le mercure dans les rivières de Guyane, j'ai découvert il y a peu un article de recherche publié en 2007 qui remet en cause pas mal d'idées concernant cette question.

Vous le trouverez ci-dessous:

Chercheurs_dor_et_contamination_par_le_mercure_de__4_

Voilà ce que j'en tire essentiellement:

Tout d'abord, il faut savoir que par un phénomène de bio-amplification, les poissons du haut de la chaine alimentaire (les poissons carnivores, c'est à dire pour les rivières de Guyane, surtout les pirailles et aïmaras) contiennent dans leurs muscles souvent plus de 1000 fois plus de mercure que le taux présent dans l'eau dans laquelle ils évoluent.

Or les chercheurs qui ont rédigé l'article ont constaté ce fait a priori surprenant:

Que la rivière soit orpaillée ou pas, il n'y a pas de différences significatives pour ce qui concerne la teneur en mercure dans les muscles des poissons du haut de la chaine alimentaire. 

Les rivières orpaillées ayant souvent 10 fois plus de mercure que celles qui ne le sont pas, on pourrait pourtant s'attendre au contraire.

Ils constatent aussi que les poissons carnivores évoluant en aval du barrage de Petit Saut sont beaucoup plus contaminés que les rivières classiques de Guyane, qu'elles soient orpaillées ou pas.

Comment j'explique ces observations?

1- Il y a toujours eu naturellement du mercure dans les eaux de Guyane, même avant la période d'orpaillage: le sol du socle guyanais en contient beaucoup ,10 fois plus que le sol européen, par exemple. Notamment à cause de l'érosion provoquée par les grosses précipitations de la saison des pluies, une partie de ce minerai se retrouve naturellement dans les rivières guyanaises.

2- Il est vrai que l'orpaillage, par l'utilisation du mercure pour amalgamer l'or et par l'utilisation de jets d'eau très puissants pour laver les roches, accentue beaucoup le phénomène.

3- Mais le mercure qui est vraiment toxique est celui qui est méthylisé (MeHg) parce qu'il peut pénétrer dans les muscles, contrairement au mercure organique qui reste stocké dans le foie.

4- Or la méthylisation du mercure ne peut se faire que dans une eau sans oxygène du fait que les bactéries qui provoquent cette méthylisation ont besoin de conditions extérieures anoxyques (= sans oxygène).

5- Cela explique que la colonne d'eau à la sortie du barrage de Petit-Saut contienne beaucoup plus de MeHg que les rivières classiques, puisque l'eau en profondeur en amont du barrage est anoxyque. Et donc les poissons qui y évoluent en ont aussi à un taux record.

6- Par contre le phénomène de méthylisation n'est pas plus important dans les rivières orpaillées que non orpaillées, cela dépendant avant tout des conditions anoxyques qui sont équivalentes dans les deux cas: le phénomène est déjà sans doute à son maximum pour les rivières non orpaillées.

Qu'est ce que j'en tire personnellement comme conclusions provisoires:

Les taux de mercure anormalement élevés trouvés dans les cheveux de la population amérindienne (notamment les Wayanas) du haut Maroni sont certainement antérieurs à la période d'orpaillage. La consommation bi-quotidienne de poissons fait partie de leur culture ancestrale et donc, à mon avis, il y a deux cents ou trois cents ans, donc bien avant l'orpaillage massif, leur cheveux contenaient déjà un taux anormal de mercure sous sa forme MeHg par rapport aux critères scientifiques et médicaux actuels . On ne peut le prouver puisque, sauf miracle, je ne vois pas comment on pourrait retrouver un échantillon non totalement décomposé de leurs cheveux, surtout avec le climat guyanais. Mais c'est la conclusion logique qui s'impose à moi.

Les chercheurs qui ont rédigé l'article cité plus haut observent d'autre part que ces populations, bien que très touchées par le mercure, ne souffrent pas " pour le moment de déficiences majeures, en comparaison par exemple avec les signes cliniques observés lors de l’intoxication de Minamata, au Japon".

J'explique cela sans doute par une immunisation gagnée par la sélection naturelle au cours des siècles d'imprégnation au mercure. Comme d'ailleurs pour les poissons de ces rivières guyanaises qui à ma connaissance sont plutôt très bien formés et en pleine forme malgré le fort taux de MeHg présent dans leurs muscles.

Donc finalement, et je vais sans doute faire bondir les idéologues de la cause écologiste s'ils tombent sur mon point de vue:

Les techniques d'orpaillages préconisées actuellement en Guyane (sans mercure, en circuit fermé et par cyanurisation), notamment pour le fameux projet de la Montagne d'or, sont plus dangereuses pour l'homme et l'environnement que les techniques antérieures:

En effet, "en dépit d'être utilisé dans la production de 90% des mines d'or, la cyanuration de l’or est controversée en raison de la nature toxique de cyanure. Bien que les solutions aqueuses de cyanure se dégradent rapidement a la lumière du soleil, les produits moins toxiques, tels que les cyanates et thiocyanates peuvent persister pendant plusieurs années. Des catastrophes célèbres ont tué quelques personnes – les populations doivent être averties de ne pas boire l’eau ou d’aller près de l'eau polluée - mais déversements de cyanure peuvent avoir un effet dévastateur sur les rivières, tout tuant et polluant parfois pendant plusieurs kilomètres en aval." (citation trouvée dans le lien suivant:  https://www.orobel.biz/info/afrique/orobel/or-cyanuration-cyanurisation-or.html)

Alors que l'utilisation du mercure ou non dans l'orpaillage ne change sans doute pas fondamentalement les données pour les populations améridiennes en jeu.

 

Cela dit, je mets beaucoup de réserves à mon point de vue, car je suis parfaitement conscient que je ne suis pas du tout spécialiste de la question et que je ne raisonne qu'à partir des infos dont je dispose, certainement très incomplètes.

Et d'ailleurs je ne demande qu'à être démenti, si possible avec des arguments solides.

Mais pour l'instant ce sont les conclusions logiques que je tire de cet article de recherche. Article qui  en tous les cas mérite d'être bien mieux connu et pris en compte par les gens s'interessant à cette question.

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05 septembre 2018

Problème de la formation d'une dune.

dune

Une dune se forme souvent à partir d'un obstacle autour duquel s'agglutine du sable projeté par le vent.

Le problème est le suivant:

Tout restant égal par ailleurs (vitesse et direction du vent supposées constantes, dimensions des grains de sables, emplacement et géométrie de l'obstacle, etc), comparez ce qui se passe dans les deux cas suivants:

cas 1: Le sable projeté a lors de sa projection dans l'air avant de retomber sur la dune en formation une densité moyenne de n grains au m^3

cas 2: Le sable projeté a une densité moyenne de 2n grains au m^3

En particulier, pensez-vous que la forme de la dune au temps 2t dans le cas 1 sera la même que celle du cas 2 au temps t.

Si oui, prouvez-le. Sinon pourquoi?

 

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20 juin 2018

Origine historique d'une méthode. Méthode de multiplication maya.

multiplication_ok

La méthode de multiplication par les doigts exposée dans l'article précédent repose sur une propriété algébrique très facile à trouver:

 

(5+a) X ( 5 + b) = 10 X (a+b) + ( 5-a) X (5 - b)

 

Mais la méthode n'en reste pas moins géniale. Je n'ai pas réussi à savoir où et comment elle a été découverte pour la première fois.

 

Est ce que c'est la relation algébrique précédente qui a conduit à la méthode? Dans ce cas il fallait penser à mettre cette relation en rapport avec les doigts d'une main et ça demande un esprit très observateur et assez génial même si je le répète la relation algébrique elle même est très simple.

 

Ou est-ce que c'est par exemple un instituteur qui observant les difficultés de certains de ses élèves a cherché plus ou moins longuement à voir comment faire avec ses doigts, est tombé un peu par hasard sur un exemple où cette méthode fonctionnait, s'est aperçu ensuite que ce n'était pas un hasard et ensuite l'a prouvé rapidement avec la relation précédente? Si c'est le cas, c'était sans doute un excellent pédagogue, capable de belles trouvailles pédagogiques!

 

Je penche plutôt sur cette seconde éventualité et si c'est la cas, je tire mon chapeau à ce pédagogue inconnu.

C'est peut-être aussi un panachage des deux.

Si un lecteur de ce blog connaît l'origine historique de la méthode, je le remercie d'avance de bien vouloir nous en faire part.

 

Une autre méthode permet de multiplier n'importe quel nombre entier (ou même décimal) par n'importe quel nombre entier composé d'autant de chiffres et cela uniquement en sachant compter, sans avoir besoin de faire aucune multiplication.

Elle est exposée sur la video suivante:

https://www.youtube.com/watch?v=xLaBXkmSMqs

La méthode est à mon avis plus immédiate à trouver que la précédente, demande moins de génie pédagogique ou génie tout court. Elle n'en reste pas moins interessante. Cela dit elle repose sur le système décimal. Or cette méthode est souvent appelée "méthode maya". Les mayas connaissaient le système décimal?

A nouveau, je fais appel aux connaissances éventuelles en histoire des mathématiques des lecteurs du blog pour répondre à ces différentes interrogations

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16 juin 2018

Multiplier avec les doigts.

multiplier

 

Hier j'ai assisté à une conférence faite par un didacticien (Denis BUTLEN, de l'Université PARIS Diderot) destinée aux professeurs des écoles et de collège-lycée au sujet de l'apprentissage des mathématiques pour les élèves en difficulté. Je ferais dans un article ultérieur de ce blog une analyse critique de cette conférence qui, le moins qu'on puisse dire, ne m'a pas convaincu.

Au moment des questions, une personne ( sans doute un professeur des écoles) a posé cette question au conférencier:

"Comment réglez-vous le problème du 7 X 8, ou  9 X 7, ou 8 X 9, etc., qui bizarrement ont souvent beaucoup de mal à être assimilés par de nombreux élèves?"

Question à laquelle le conférencier répond en donnant une méthode basée sur la distributivité. En gros:

7 X 8 = (5 + 2) X (5 + 3)= 5 X 5 + 2 X 5 + 5 X 3 + 2 X 3 = 25 + 10 + 15 + 6= 56

Ouf!

Méthode evidemment impraticable surtout si on veut que l'élève donne rapidement le résultat, ce qui evidemment était le souci de la personne qui posait cette question.

Il existe pourtant une méthode très simple qui permet de retrouver très rapidement les résultats des multiplications de 6, 7, 8 et 9 dans la mesure où on connaît les précédentes ( celles de 2, 3, 4 et 5) et qui en général sont bien assimilées par quasi-tous les élèves.

Cette méthode est déjà expliquée par l'image de cet article. Si vous voulez une explication plus dynamique et plus complète, regardez cette vidéo:

https://youtu.be/4qBs20CoVfE

Deux questions à propos de cette méthode:

1- Donnez en une justification mathématique.

2- Cette méthode fonctionnerait-elle pour les tables de  7, 8, 9, 10 et 11 si au lieu d'avoir 5 doigts par main, nous en avions 6 et en supposant connues les tables de 2 à 6?

 

 

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30 mai 2018

Vols de pigeons

pigeon

 

Trois pigeons Alphonse, Barnabé  et Clovis sont sur chaque sommet d'un triangle équilatéral ABC de coté 100km. Ils partent simultanément chacun dans la direction du centre de gravité G du triangle ABC et continuent leurs périples toujours dans la même direction une fois ce centre de gravité atteint.

On appelle "distance commune" la somme des cotés du triangle qu'ils forment à eux trois. Par exemple, au moment du départ, cette distance commune est de 300km. Alphonse vole à 40km/h, Barnabé à 45km/h et Clovis à 50km/h.

Quelle est la "distance commune" minimale de ces trois pigeons?

Si vous trouvez ce problème trop facile, vous pourrez ensuite vous frotter à la variante suivante:

Même question, sachant que cette fois quand l'un des pigeons atteint le centre de gravité, il rebrousse chemin et rejoint son point de départ. Les vitesses étant inchangées.

Enfin, si votre faim mathématique n'est toujours pas comblée, toujours la même question sachant que chaque pigeon ne cesse de faire des allers et venues entre son point de départ et le centre de gravité G, toujours aux mêmes vitesses.

 

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06 mai 2018

La quatrième dimension.

La_Quatrieme_Dimension

 

L'excellent vulgarisateur scientifique Mickaël LAUNAY a fait une série de 4 vidéos pour présenter la quatrième dimension.

C'est lumineux!

 

Vous les trouverez sur le lien suivant: https://www.youtube.com/watch?v=LQFkUjYzOn8

 

 

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02 mai 2018

Un peu de géométrie en dimension 4

quatrieme dimension

 

 

Dans l'un de nos derniers problèmes (paru en décembre 2017 sur le blog) intervenait le lien entre les volumes V1 d'un cône et V2 d'un cylindre de même base et même hauteur dans l'espace euclidien de dimension 3:

V1 =(1/3)V2

 

En dimension 2, le "cylindre" est un rectangle et le "cône" un triangle. Si on appelle A1 et A2 les aires respectives d'un "cylindre" et d'un "cône" du plan de même base et de même hauteur, nous avons cette fois:

A1=(1/2)A2

D'où cette question qui vient naturellement:

En dimension 4 soit un hyper-cône et un hyper-cylindre d'hyper-base la même boule et de même "hauteur" pour la quatrième dimension. En notant W1 et W2 leur hyper-volume, a-t-on la relation suivante?

 

W1=(1/4)W2

 

Et si c'est le cas, cela se généralise-t-il dans un espace euclidien de dimension n:

A-t-on W1=(1/n)W2 pour les hyper-volumes des hyper-cônes et hyper-cylindres de même base hypersphérique et même "hauteur" pour la nième dimension?

 

 

 

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11 avril 2018

Classe exceptionnelle agrégés

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Les 19 et 20 mars derniers, une commission a selectionné parmi les professeurs agrégés hors classe "éligibles" ceux qui accéderaient à la classe exceptionnelle pour la première campagne de ce nouveau grade. 

Certains candidats se sont aperçus que l'âge du candidat semblait un élèment très important pris en compte: pour le premier vivier, 100% des plus de 60 ans y accèdaient, tandis que pour ceux qui avaient autour de 50 ans, les chances étaient beaucoup plus faibles.

 Voilà par exemple un échange trouvé sur un forum du net consacré à cette classe exceptionnelle (https://blog.juliendelmas.fr/?profs-quand-passerez-vous-a-la-classe-exceptionnelle&debut_comments-list=100#pagination_comments-list) 

Le 21 mars à 08:51par MARTINE D.

Bonjour, A tous les agreges qui passaient en CAPN hier . Avez vous eu vos resultats , notamment si certains sont en superieur . meme syndiquee au SNESUP je n ai rien .
Cependant voila les infos dont je dispose : 
Deja il ya 100 postes de plus que prevu et moins d eligibles au vivier 1 1267 et 357 au vivier 2
Pour le vivier 1, les plus de 60 ans , tous ont ete promus, entre 55 et 60 91 % ( je suis dans cette tranche avec 135 de bareme et herve ci dessus a ete promu avec 126 , meme tranche d’age ) , par contre entre 50 et 55 ans 50 % et moins de 50 ans 30 % .
Herve du forum, 55 ans a ete promu avec un bareme de 126

Donc , on devrait , sauf si moins de 55 ans etre promus mais la aussi dans l information il y a des differences de traitement :))))

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  • #^Le 21 mars à 09:06par Marie

    Donc quand on nous dit que l’age n’est pas un critère... bref.

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    • #^Le 21 mars à 11:42par Eric

      L’âge est forcement un critère puisque les points d’ancienneté dans le grade en sont la conséquence directe. Et puis maintenant c’est normal qu’à barème égal on favorise le plus vieux. C’est une règle générale. Les plus jeunes n’ont qu’à attendre, pour les plus vieux, par définition, ils ne peuvent plus attendre, ou beaucoup moins.

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      • #^Le 21 mars à 11:58par Marie

        Non, cela dépend de la carrière de chacun, l’ancienneté dans le grade n’est pas toujours liée à l’âge. Et là on ne parle pas de départager des personnes à barème égal, on parle de pourcentages sur une classe d’âge, ce n’est pas du tout la même chose ! Mais bon, ce qui m’énerve c’est l’hypocrisie de dire que l’âge serait un critère discriminant qui ne peut pas être pris en compte alors que dans les faits on constate que c’est bien l’âge qui détermine tout dans certaines académies et finalement à la CAPN aussi.

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        • #^Le 21 mars à 12:27par Eric

          Mécaniquement, la règle « à barème égal on privilégie le plus vieux » plus le fait qu’on a plus de chances d’avoir plus de points d’ancienneté dans le grade à 60 ans qu’à 50 (par exemple) entraîne ces différences de pourcentage. Un excellent exercice de simulation probabiliste à faire.

           

           

           

          Il s'agit de faire la simulation proposée par Eric pour vérifier si les chiffres donnés sont normaux comme il le pense, ou si il y a eu une surevaluation qui augmente sensiblement les chances des plus agés, en dehors du jeu normal des points d'ancienneté, comme le pense Marie.

          Pour cela on partira sur les données suivantes: 

          Quel que soit l'age, la probabilité d'avoir avis "Excellent" (qui donne droit à 140 points) est de 0,2, celle d'avoir avis "Très satisfaisant" (90 points) est de 0,8.

          Les points d'ancienneté suivent la grille suivante:

          Échelon et ancienneté au 1/9/2017Points liés à l’ancienneté
          2e échelon hcl sans ancienneté 3
          2e échelon hcl ancienneté comprise entre 1 jour et 11 mois 29 jours 6
          2e échelon hcl ancienneté comprise entre 1 an et 1 an 11 mois 29 jours 9
          3e échelon hcl sans ancienneté 12
          3e échelon hcl ancienneté comprise entre 1 jour et 11 mois 29 jours 15
          3e échelon hcl ancienneté comprise entre 1 an et 1 an 11 mois 29 jours 18
          3e échelon hcl ancienneté comprise entre 2 ans et 2 ans 11 mois 29 jours 21
          4e échelon hcl sans ancienneté 24
          4e échelon hcl ancienneté comprise entre 1 jour et 11 mois 29 jours 27
          4e échelon hcl ancienneté comprise entre 1 an et 1 an 11 mois 29 jours 30
          4e échelon hcl ancienneté comprise entre 2 ans et 2 ans 11 mois 29 jours 33
          4e échelon hcl ancienneté comprise entre 3 ans et 3 ans 11 mois 29 jours 36
          4e échelon hcl ancienneté comprise entre 4 ans et 4 ans 11 mois 29 jours 39
          4e échelon hcl ancienneté comprise entre 5 ans et 5 ans 11 mois 29 jours 42
          4e échelon hcl ancienneté comprise entre 6 ans et 6 ans 11 mois 29 jours 45
          4e échelon hcl ancienneté égale ou supérieure à 7 ans 48
          Pour simplifier (et c'est certainement proche de la réalité), on supposera que les âges des eligibles du premier vivier sont répartis suivant une loi normale de moyenne 56 et d'écart-type 3. On supposera aussi toujours pour le premier vivier que la probabilité d'avoir 3 points d'ancienneté à 48 ans et moins est de 1 (donc de 0 pour les valeurs supérieures du barème) et celle d'avoir 48 points d'ancienneté à 65 ans et plus est de 1 ( donc 0 pour les valeurs inférieures du barème).

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14 décembre 2017

Cône et cylindre

cone

Démontrer par des moyens purement géométriques (sans utiliser par exemple l'intégrale) que le volume d'un cône est le tiers du volume du cylindre de même base et de même hauteur.

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