Le Blog des mathématiques concrètes.

19 janvier 2019

Grand Débat: Problème de la dette publique française.


Dette_publique_France_1979-2017

 

La dette publique de la France s'élevait fin 2018 à 2300 milliards d'euros, soit pratiquement 100% du PIB.

Le seul remboursement des intérêts de cette dette représente le deuxième poste budgétaire, tout de suite après celui de l'Education Nationale. Et encore, nous avons la chance actuellement que les taux soient historiquement bas, ce qui ne sera pas éternel. Et le montant de ces intérêts est à peine compensé par celui des impots sur le revenus!

Si on ramène cette dette à chaque français, il doit environ 35 000€ au titre de cette dette. 

Si encore cette dette était une dette pour investir, donc susceptible d'amener des richesses futures, elle ne serait pas à déplorer, bien au contraire! Mais non, essentiellement cette  dette publique française est une « mauvaise dette » qui reporte sur les générations futures le coût de frais de fonctionnement des administrations publiques et de dépenses de consommation trop importantes.

A mon avis, faire perdurer cette dette est un comportement aussi irresponsable vis-à-vis des générations futures que celui qui serait d'avoir un comportement collectif hyper-consommateur qui entrainerait pour les générations suivantes de subir rapidement toutes les conséquences négatives du réchauffement climatique.

Aussi, il faut prendre les grands moyens, et voici ce que je propose dans le cadre du "Grand Débat" qui vient d'être ouvert en France:

Mesure 1: Mettre au point un compteur instantané de la dette française, que chaque français pourra consulter sur le net.

Mesure 2: Instaurer un effet cliquet qui  rende impossible l'augmentation de cette dette et ne permette que sa diminution. Pour cela, toute augmentation entrainera automatiquement et immédiatement une diminution des salaires, pensions et prestations reçues par chaque français au prorata de leur montant pour  ramener la dette au solde précédent. Ainsi chacun sera responsabilisé. Et chacun assumera concrétement le fait de ne pas transmettre une augmentation de la dette aux générations futures. Et la France cessera de vivre au dessus de ses moyens.

Mesure 3: Chaque foyer fiscal et chaque entreprise pourra, s'il le veut et s'il le peut, verser un montant pour rembourser la dette. Immédiatement après le versement, le compteur instantané le prendra en compte, même s'il ne s'agit que de 10€. Si le foyer paie l'impot sur les revenus, les montants versés seront retirés des revenus à déclarer. Si le foyer fiscal ne le paie pas, le montant de la CSG qu'il aura à verser sera calculé sur les revenus diminués de ses versements. De même concernant les entreprises, les versements seront décomptés des bénéfices à déclarer.

 

Problème: Mettre au point sur un tableur ou tout autre logiciel qui paraît adéquat une simulation dynamique d'un tel compteur prenant en compte en direct ces trois mesures. On le fera dans le cas d'une population de 1000 personnes (pour 66 millions de personnes, cela dépasserait largement les possibilités des tableurs courants).

 

PS: Je suis prèt à discuter avec quiconque, ici ou ailleurs, sur la pertinence ou l'amélioration possible des mesures que je préconise. Je ferai remonter ensuite le "produit fini" sur le site officiel du Grand Débat.

 

 

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12 janvier 2019

Jeanne Calment et loi exponentielle.

jeanne calment

A l'heure où des chercheurs russes remettent en cause l'âge jusqu'à présent officiel de 122 ans atteint par Jeanne Calment à son décés en 1997, une étude récente faite de 2009 à 2015 par une démographe italienne, Elisabeth Barbi, notamment à partir de 3800 "super-centenaires"  italiens, a livré les constatations suivantes:

A partir de 105 ans, l'espérance de vie résiduelle se stabiliserait à 1,5 ans et la probabilité de vivre un an de plus serait toujours de 50%. Autrement-dit, à partir de 105 ans, l'espérance de vie suivrait une loi exponentielle (de paramètre 2/3).

Donc à partir de 105 ans, la durée de vie de l'être humain se comporterait comme celle d'une lampe à LED ou d'un composant electronique: loi dite sans mémoire, ou encore sans vieillissement.

Que se passe-t-il avant 105 ans?

Toujours d'après cette étude italienne, les résultats ont montré que le risque de décès au cours de l'année suivante passerait de 15% à 90 ans à 24% à 95 ans puis viendrait se stabiliser à 50% à partir de 105 ans.

Donc ce risque augmente fortement jusqu'à 105 ans. Un peu cette fois le même comportement  que celui d'une lampe à filament puisque ce dernier vieillit en s'évaporant peu à peu. 

Doit-on pour autant être pressé de passer du statut de lampe à filament à celui de lampe à LED?

Je laisse chacun juge de la réponse à donner à cette question hautement philosophique.

 

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04 janvier 2019

Planche de Galton et sablier.

250px-Planche_de_Galton

 

D'après Wikipedia, " Une planche de Galton est un dispositif inventé par Sir Francis Galton qui illustre la convergence d'une loi binomiale vers une loi normale. Des clous sont plantés sur la partie supérieure de la planche, de telle sorte qu'une bille lâchée sur la planche passe soit à droite soit à gauche pour chaque rangée de clous. Dans la partie inférieure les billes sont rassemblées en fonction du nombre de passages à gauche et de passage à droite qu'elles ont fait. Ainsi chaque case correspond à un résultat possible d'une expérience binomiale (en tant qu'une expérience de Bernoulli répétée) et on peut remarquer que la répartition des billes dans les cases approche la forme d'une courbe de Gauss, ceci étant d'autant plus vrai que le nombre de rangées augmente, autrement dit : la loi binomiale converge vers la loi normale. Il s'agit donc d'une illustration du théorème de Moivre-Laplace."

Si l'on regarde l'évolution du tas de sable inférieur dans un sablier, le profil obtenu rappelle celui qui apparaît dans une planche de Galton:

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La question qui découle de cette remarque est donc la suivante:

Y-a-t'il un lien entre le profil du tas de sable et la loi normale?

 

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26 décembre 2018

Problème du hamac

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Un hamac est suspendu entre deux poteaux distants de 4 mètres  A vide, il a une forme de parabole  et le plus bas de la parabole est à 60 cm du sol. Si on met une boule de pétanque à l'intérieur, il prend une forme de triangle isocèle (le troisième coté étant la ligne droite reliant les deux crochets de même hauteur), et le sommet inférieur n'est plus qu'à 45 cm du sol. 

Le problème est le suivant:

Y-a-t'il assez de données pour calculer la longueur du hamac et la hauteur des crochets? Si oui, en faire les calculs.

Variante: reprendre le problème dans l'hypothèse où à vide le hamac est supposé avoir une forme de chaînette, ce qui est sans doute la forme réelle car c'est ce qui se passe lorsque par exemple on suspend une corde entre deux poteaux. 

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20 décembre 2018

Espérance de vie "résiduelle".

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Il est un concept qui n'est pas fait pour donner le moral mais qui est très utilisé, par les sociétés d'assurance par exemple:

C'est celui de "l'espérance de vie résiduelle", autrement dit le nombre d'années qu'un individu de tel âge et de tel milieu peut "espérer" (au sens de l'espérance mathématique) vivre encore.

Des simulateurs donnent sur le net cette espérance de vie résiduelle.

Par exemple celui que vous trouverez sur le lien suivant:

http://mon-convertisseur.fr/estimation-esperance-vie-residuelle.php

Personnellement, ce simulateur me laisse espérer de vivre encore 20,25 ans à partir d'aujourd'hui. Je tiens au 0,25, vous me comprendrez facilement. Et si vous connaissez un simulateur plus sympa, prière de me l'envoyer.

La question est la suivante:

Sur quelle loi probabiliste est basée ce simulateur? S'agit-il d'une loi connue comme une loi exponentielle qu'on utilise souvent pour prévoir la durée de vie d'un appareil electronique ou electroménager? Ou d'une loi normale, ou gaussienne, suivie par nombre de phénomènes naturels (c'est pourquoi on parle de loi "normale")? Ou d'une autre loi connue?

Si oui, la préciser et la justifier en donnant ses paramètres.

Sinon, en préciser au mieux le comportement.

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26 octobre 2018

Le cyclondrome du rasoir électrique.

 

 

georgescu

 

Nicholas Georgescu-Roegen, 1906-1994

Le roumain Nicholas Georgescu-Roegen, initialement mathématicien spécialisé en statistiques, a ensuite bifurqué vers les sciences économiques. Son principal apport dans ce domaine est une nouvelle approche de l'économie, approche dite "thermodynamique". Elle est en opposition avec l'approche classique qui repose principalement sur la loi de l'offre et de la demande, qui est un peu pour l'économie classique ce qu'est la loi de gravitation universelle pour la mécanique newtonienne. Pour cela, il introduit le concept thermodynamique (voir son deuxième principe) d'entropie et voilà comment lui-même résume son point de vue:

"L'économiste non orthodoxe que je suis ajouterait que ce qui entre dans le processus économique consiste en ressources naturelles de valeur et que ce qui en est rejeté consiste en déchets sans valeur. Or, cette différence qualitative se trouve confirmée, quoique en termes différents, par une branche particulière et même singulière de la physique connue sous le nom de thermodynamique. Du point de vue de la thermodynamique, la matière-énergie absorbée par le processus économique l'est dans un état de basse entropie et elle en sort dans un état de haute entropie"

On trouvera le developpement complet de sa théorie sur le lien suivant:

http://classiques.uqac.ca/contemporains/georgescu_roegen_nicolas/decroissance/la_decroissance.pdf

Sa théorie débouche sur cette conséquence logique: seule une décroissance programmée permettra à moyen et à long terme à l'humanité de ne pas tomber sur l'impasse totale où, d'après lui, nous amènent actuellement les politiques de croissance, même quand elles prétendent être durables.

Il termine le chapitre 2 de son ouvrage phare (version française sous le titre "La décroissance Entropie – Écologie - Économie" publié pour la première fois en 1979) par un "programme bioéconomique minimal" en huit points dont le dernier est le suivant:

"En accord forcé avec tout ce que nous avons dit jusqu'ici, il nous faut nous guérir nous-mêmes de ce que j'ai appelé « le cyclondrome du rasoir électrique »  qui consiste à se raser plus vite afin d'avoir plus de temps pour travailler à un appareil qui rase plus vite encore, et ainsi de suite à l'infini. Ce changement conduira à un émondage considérable des professions qui ont piégé l'homme dans le vide de cette régression indéfinie. Nous devons nous faire à l'idée que toute existence digne d'être vécue a comme préalable indispensable un temps suffisant de loisir utilisé de manière intelligente."

C'est ce dernier point qui nous a donné l'idée de ce problème:

Trouver une modélisation mathématique simple du "cyclondrome du rasoir électrique". En étudier ensuite la résolution (existence éventuelle d'une solution, son unicité, obtention d'une solution explicite ou numérique).

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16 septembre 2018

Pollution au mercure en Guyane: mon point de vue à partir d'un article de recherche sur la question.

riviere guyane

M'interessant au problème de la pollution par le mercure dans les rivières de Guyane, j'ai découvert il y a peu un article de recherche publié en 2007 qui remet en cause pas mal d'idées concernant cette question.

Vous le trouverez ci-dessous:

Chercheurs_dor_et_contamination_par_le_mercure_de__4_

Voilà ce que j'en tire essentiellement:

Tout d'abord, il faut savoir que par un phénomène de bio-amplification, les poissons du haut de la chaine alimentaire (les poissons carnivores, c'est à dire pour les rivières de Guyane, surtout les pirailles et aïmaras) contiennent dans leurs muscles souvent plus de 1000 fois plus de mercure que le taux présent dans l'eau dans laquelle ils évoluent.

Or les chercheurs qui ont rédigé l'article ont constaté ce fait a priori surprenant:

Que la rivière soit orpaillée ou pas, il n'y a pas de différences significatives pour ce qui concerne la teneur en mercure dans les muscles des poissons du haut de la chaine alimentaire. 

Les rivières orpaillées ayant souvent 10 fois plus de mercure que celles qui ne le sont pas, on pourrait pourtant s'attendre au contraire.

Ils constatent aussi que les poissons carnivores évoluant en aval du barrage de Petit Saut sont beaucoup plus contaminés que les rivières classiques de Guyane, qu'elles soient orpaillées ou pas.

Comment j'explique ces observations?

1- Il y a toujours eu naturellement du mercure dans les eaux de Guyane, même avant la période d'orpaillage: le sol du socle guyanais en contient beaucoup ,10 fois plus que le sol européen, par exemple. Notamment à cause de l'érosion provoquée par les grosses précipitations de la saison des pluies, une partie de ce minerai se retrouve naturellement dans les rivières guyanaises.

2- Il est vrai que l'orpaillage, par l'utilisation du mercure pour amalgamer l'or et par l'utilisation de jets d'eau très puissants pour laver les roches, accentue beaucoup le phénomène.

3- Mais le mercure qui est vraiment toxique est celui qui est méthylisé (MeHg) parce qu'il peut pénétrer dans les muscles, contrairement au mercure organique qui reste stocké dans le foie.

4- Or la méthylisation du mercure ne peut se faire que dans une eau sans oxygène du fait que les bactéries qui provoquent cette méthylisation ont besoin de conditions extérieures anoxyques (= sans oxygène).

5- Cela explique que la colonne d'eau à la sortie du barrage de Petit-Saut contienne beaucoup plus de MeHg que les rivières classiques, puisque l'eau en profondeur en amont du barrage est anoxyque. Et donc les poissons qui y évoluent en ont aussi à un taux record.

6- Par contre le phénomène de méthylisation n'est pas plus important dans les rivières orpaillées que non orpaillées, cela dépendant avant tout des conditions anoxyques qui sont équivalentes dans les deux cas: le phénomène est déjà sans doute à son maximum pour les rivières non orpaillées.

Qu'est ce que j'en tire personnellement comme conclusions provisoires:

Les taux de mercure anormalement élevés trouvés dans les cheveux de la population amérindienne (notamment les Wayanas) du haut Maroni sont certainement antérieurs à la période d'orpaillage. La consommation bi-quotidienne de poissons fait partie de leur culture ancestrale et donc, à mon avis, il y a deux cents ou trois cents ans, donc bien avant l'orpaillage massif, leur cheveux contenaient déjà un taux anormal de mercure sous sa forme MeHg par rapport aux critères scientifiques et médicaux actuels . On ne peut le prouver puisque, sauf miracle, je ne vois pas comment on pourrait retrouver un échantillon non totalement décomposé de leurs cheveux, surtout avec le climat guyanais. Mais c'est la conclusion logique qui s'impose à moi.

Les chercheurs qui ont rédigé l'article cité plus haut observent d'autre part que ces populations, bien que très touchées par le mercure, ne souffrent pas " pour le moment de déficiences majeures, en comparaison par exemple avec les signes cliniques observés lors de l’intoxication de Minamata, au Japon".

J'explique cela sans doute par une immunisation gagnée par la sélection naturelle au cours des siècles d'imprégnation au mercure. Comme d'ailleurs pour les poissons de ces rivières guyanaises qui à ma connaissance sont plutôt très bien formés et en pleine forme malgré le fort taux de MeHg présent dans leurs muscles.

Donc finalement, et je vais sans doute faire bondir les idéologues de la cause écologiste s'ils tombent sur mon point de vue:

Les techniques d'orpaillages préconisées actuellement en Guyane (sans mercure, en circuit fermé et par cyanurisation), notamment pour le fameux projet de la Montagne d'or, sont plus dangereuses pour l'homme et l'environnement que les techniques antérieures:

En effet, "en dépit d'être utilisé dans la production de 90% des mines d'or, la cyanuration de l’or est controversée en raison de la nature toxique de cyanure. Bien que les solutions aqueuses de cyanure se dégradent rapidement a la lumière du soleil, les produits moins toxiques, tels que les cyanates et thiocyanates peuvent persister pendant plusieurs années. Des catastrophes célèbres ont tué quelques personnes – les populations doivent être averties de ne pas boire l’eau ou d’aller près de l'eau polluée - mais déversements de cyanure peuvent avoir un effet dévastateur sur les rivières, tout tuant et polluant parfois pendant plusieurs kilomètres en aval." (citation trouvée dans le lien suivant:  https://www.orobel.biz/info/afrique/orobel/or-cyanuration-cyanurisation-or.html)

Alors que l'utilisation du mercure ou non dans l'orpaillage ne change sans doute pas fondamentalement les données pour les populations améridiennes en jeu.

 

Cela dit, je mets beaucoup de réserves à mon point de vue, car je suis parfaitement conscient que je ne suis pas du tout spécialiste de la question et que je ne raisonne qu'à partir des infos dont je dispose, certainement très incomplètes.

Et d'ailleurs je ne demande qu'à être démenti, si possible avec des arguments solides.

Mais pour l'instant ce sont les conclusions logiques que je tire de cet article de recherche. Article qui  en tous les cas mérite d'être bien mieux connu et pris en compte par les gens s'interessant à cette question.

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05 septembre 2018

Problème de la formation d'une dune.

dune

Une dune se forme souvent à partir d'un obstacle autour duquel s'agglutine du sable projeté par le vent.

Le problème est le suivant:

Tout restant égal par ailleurs (vitesse et direction du vent supposées constantes, dimensions des grains de sables, emplacement et géométrie de l'obstacle, etc), comparez ce qui se passe dans les deux cas suivants:

cas 1: Le sable projeté a lors de sa projection dans l'air avant de retomber sur la dune en formation une densité moyenne de n grains au m^3

cas 2: Le sable projeté a une densité moyenne de 2n grains au m^3

En particulier, pensez-vous que la forme de la dune au temps 2t dans le cas 1 sera la même que celle du cas 2 au temps t.

Si oui, prouvez-le. Sinon pourquoi?

 

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20 juin 2018

Origine historique d'une méthode. Méthode de multiplication maya.

multiplication_ok

La méthode de multiplication par les doigts exposée dans l'article précédent repose sur une propriété algébrique très facile à trouver:

 

(5+a) X ( 5 + b) = 10 X (a+b) + ( 5-a) X (5 - b)

 

Mais la méthode n'en reste pas moins géniale. Je n'ai pas réussi à savoir où et comment elle a été découverte pour la première fois.

 

Est ce que c'est la relation algébrique précédente qui a conduit à la méthode? Dans ce cas il fallait penser à mettre cette relation en rapport avec les doigts d'une main et ça demande un esprit très observateur et assez génial même si je le répète la relation algébrique elle même est très simple.

 

Ou est-ce que c'est par exemple un instituteur qui observant les difficultés de certains de ses élèves a cherché plus ou moins longuement à voir comment faire avec ses doigts, est tombé un peu par hasard sur un exemple où cette méthode fonctionnait, s'est aperçu ensuite que ce n'était pas un hasard et ensuite l'a prouvé rapidement avec la relation précédente? Si c'est le cas, c'était sans doute un excellent pédagogue, capable de belles trouvailles pédagogiques!

 

Je penche plutôt sur cette seconde éventualité et si c'est la cas, je tire mon chapeau à ce pédagogue inconnu.

C'est peut-être aussi un panachage des deux.

Si un lecteur de ce blog connaît l'origine historique de la méthode, je le remercie d'avance de bien vouloir nous en faire part.

 

Une autre méthode permet de multiplier n'importe quel nombre entier (ou même décimal) par n'importe quel nombre entier composé d'autant de chiffres et cela uniquement en sachant compter, sans avoir besoin de faire aucune multiplication.

Elle est exposée sur la video suivante:

https://www.youtube.com/watch?v=xLaBXkmSMqs

La méthode est à mon avis plus immédiate à trouver que la précédente, demande moins de génie pédagogique ou génie tout court. Elle n'en reste pas moins interessante. Cela dit elle repose sur le système décimal. Or cette méthode est souvent appelée "méthode maya". Les mayas connaissaient le système décimal?

A nouveau, je fais appel aux connaissances éventuelles en histoire des mathématiques des lecteurs du blog pour répondre à ces différentes interrogations

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16 juin 2018

Multiplier avec les doigts.

multiplier

 

Hier j'ai assisté à une conférence faite par un didacticien (Denis BUTLEN, de l'Université PARIS Diderot) destinée aux professeurs des écoles et de collège-lycée au sujet de l'apprentissage des mathématiques pour les élèves en difficulté. Je ferais dans un article ultérieur de ce blog une analyse critique de cette conférence qui, le moins qu'on puisse dire, ne m'a pas convaincu.

Au moment des questions, une personne ( sans doute un professeur des écoles) a posé cette question au conférencier:

"Comment réglez-vous le problème du 7 X 8, ou  9 X 7, ou 8 X 9, etc., qui bizarrement ont souvent beaucoup de mal à être assimilés par de nombreux élèves?"

Question à laquelle le conférencier répond en donnant une méthode basée sur la distributivité. En gros:

7 X 8 = (5 + 2) X (5 + 3)= 5 X 5 + 2 X 5 + 5 X 3 + 2 X 3 = 25 + 10 + 15 + 6= 56

Ouf!

Méthode evidemment impraticable surtout si on veut que l'élève donne rapidement le résultat, ce qui evidemment était le souci de la personne qui posait cette question.

Il existe pourtant une méthode très simple qui permet de retrouver très rapidement les résultats des multiplications de 6, 7, 8 et 9 dans la mesure où on connaît les précédentes ( celles de 2, 3, 4 et 5) et qui en général sont bien assimilées par quasi-tous les élèves.

Cette méthode est déjà expliquée par l'image de cet article. Si vous voulez une explication plus dynamique et plus complète, regardez cette vidéo:

https://youtu.be/4qBs20CoVfE

Deux questions à propos de cette méthode:

1- Donnez en une justification mathématique.

2- Cette méthode fonctionnerait-elle pour les tables de  7, 8, 9, 10 et 11 si au lieu d'avoir 5 doigts par main, nous en avions 6 et en supposant connues les tables de 2 à 6?

 

 

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