Le Blog des mathématiques concrètes.

11 avril 2017

Le problème du camion-toupie.

camion-toupieLa toupie d'un camion-toupie est formée d'un cylindre de 1,5 m de rayon et de 1,3 m de hauteur, cylindre prolongé au niveau de ses deux bases par deux cones tronqués de petit rayon 1 m et de hauteur 1,3 m.

Cette toupie est inclinée de telle sorte que son axe ait une pente de 20% avec l'horizontale. Enfin, elle est emplie à 80% de béton.

On demande d'indiquer la position précise du niveau supérieur du béton dans la toupie ainsi que la forme précise du pourtour de ce niveau supérieur.

 

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23 mars 2017

Problème de partage.

un riche laboureur

 

Un Laboureur, sentant son décés très prochain

Fit venir ses sept fils, leur parla sans témoins.

"J'aimerai", leur dit-il,"que les sept parts soient égales

De ma propriété de forme polygonale.

Sachant que ce terrain est un quadrilatère

Et puis que vous ne disposez pour cela faire

Que d'une corde et d'un vieux centimètre en fer

Saurez-vous la partager en  lots d'un tenant?

Si oui, dans ma tombe je serais très content

d'avoir sept fils capables de se creuser tête

pour se partager le bien de leur riche ancêtre."

 

Sur une idée de Thierry, professeur de physique au lycée Damas.

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02 janvier 2017

Problème ouvert: majoration du pourcentage d'erreur commise par les GPS sur le calcul des longueurs.

Image-GPS

Les coureurs à pied et les cyclistes utilisant des montres GPS le savent: les longueurs données par leur GPS ne sont pas exactement les distances réelles qu'ils ont parcourues. Je m'en suis encore aperçu hier où j'ai fait deux fois la même boucle: la première fois, la longueur affichée par le GPS est de 4790m, la seconde de 4860m, ce qui fait quand même une différence de plus de 1%! 

Il y a plusieurs raisons à cela. On trouvera sur le lien suivant la description des principales:

http://www.montre-cardio-gps.fr/les-7-erreurs-que-fait-regulierement-votre-montre-gps/

 

Le problème est le suivant: On suppose que l'origine de l'erreur de calcul de la distance par rapport à la distance réelle ne provient que d'une seule raison: l'interpolation qui est faite de points GPS en points GPS, ces points étant émis toutes les secondes. On demande de majorer au mieux l'erreur que pourra commettre le GPS. Pour cela, on fera intervenir les trois paramètres suivants: la vitesse supposée constante du coureur, la longueur du parcours et sa sinuosité. On commencera par définir la "fonction sinuosité" caractérisant chaque parcours.

Il s'agit ici d'un problème ouvert: contrairement aux problèmes précédents donnés dans le blog, il n'a pas encore été résolu par les deux créateurs du blog

Nous espérons que cette nouvelle formule suscitera plus de réactions, car si notre blog est assez visité, et internationalement, nous observons que pour l'instant nous avons eu très peu de solutions proposées. 

 

Eric Zeltz

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30 juin 2016

Mathématiques et théologie.

36-une-contre-athéologie-chrétienne_2 (1)

 

L'un des auteurs de ce blog est à la fois mathématicien et catholique pratiquant.

Il s'est forcément posé plus d'une fois la question de la conciliation possible ou pas des vérités scientifiques avec ce que proclame la foi catholique.

Cela est précisé à l'intérieur de l'un de ses ouvrages, intitulé "Une contre-athéologie chrétienne", ouvrage dont vous trouverez la présentation sur le lien suivant:

http://www.bookelis.com/spiritualite/23310-Une-contre-atheologie-chretienne.html

Il y a notamment dans ce livre un chapitre qui précise le parallèle entre les sciences mathématiques et la théologie chrétienne, tel que le voit son auteur.

C'est encore une autre façon bien concrète, d'aborder et d'utiliser les mathématiques, et donc il nous paraît légitime d'en livrer le contenu dans ce blog. Vous le trouverez ci-dessous:

 

parall_le_math_matiques_et_th_ologie

 

Pour en donner le contexte, il s'agit d'un extrait de la première partie du livre qui est essentiellement une critique d'un ouvrage de Claude Allègre intitulé "Dieu face à la science".

La seconde partie, quant à elle, se confronte aux thèses de Michel Onfray, telles qu'il les a exprimées dans son célèbre "Traité d'athéologie".

 

Eric Zeltz

 

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03 juin 2016

L'Evariste Galois des poètes.

 

 

téléchargement

 

 Les mathématiques concrètes, ce n'est pas uniquement résoudre par les mathématiques des problèmes concrets. Cela est peut-être aussi la perception concrète qu'a de cette science tel écrivain ou tel poète. 

Dans les Chants de Maldoror d' Isodore Ducasse, Comte de Lautréamont, nous avons ces pages qui contribuent à faire de lui (il était presqu'aussi jeune quand il mourut et dans un autre domaine que les mathématiques tout aussi génial) l'Evariste Galois des poètes où vinrent s'abreuver par la suite tous les surréalistes:

O mathématiques sévères, je ne vous ai pas oubliées, depuis que vos savantes leçons, plus douces que le miel, filtrèrent dans mon coeur, comme une onde rafraîchissante. J’aspirais instinctivement, dès le berceau, à boire à votre source, plus ancienne que le soleil, et je continue encore de fouler le parvis sacré de votre temple solennel, moi, le plus fidèle de vos initiés. Il y avait du vague dans mon esprit, un je ne sais quoi épais comme de la fumée ; mais, je sus franchir religieusement les degrés qui mènent à votre autel, et vous avez chassé ce voile obscur, comme le vent chasse le damier. Vous avez mis, à la place, une froideur excessive, une prudence consommée et une logique implacable. À votre lait fortifiant, mon intelligence s’est rapidement développée, et a pris des proportions immenses, au milieu de cette clarté ravissante dont vous faites présent, avec prodigalité, à ceux qui vous aiment d’un sincère amour. Arithmétique ! algèbre ! géométrie ! trinité grandiose ! triangle lumineux ! Celui qui ne vous a pas connues est un insensé ! Il mériterait l’épreuve des plus grands supplices ; car, il y a du mépris aveugle dans son insouciance ignorante ; mais, celui qui vous connaît et vous apprécie ne veut plus rien des biens de la terre ; se contente de vos jouissances magiques ; et, porté sur vos ailes sombres, ne désire plus que de s’élever, d’un vol léger, en construisant une hélice ascendante ; vers la voûte sphérique des cieux. La terre ne lui montre que des illusions et des fantasmagories morales ; mais vous, ô mathématiques concises, par l’enchaînement rigoureux de vos propositions tenaces et la constance de vos lois de fer, vous faites luire, aux yeux éblouis, un reflet puissant de cette vérité suprême dont on remarque l’empreinte dans l’ordre de l’univers. Mais, l’ordre qui vous entoure, représenté surtout par la régulation parfaite du carré, l’ami de Pythagore, est encore plus grand ; car, le Tout Puissant s’est révélé complètement, lui est ses attributs, dans ce travail mémorable qui consista à faire sortir, des entrailles du chaos, vos trésors de théorèmes et vos magnifiques splendeurs. Aux époques antiques et dans les temps modernes, plus d’une grande imagination humaine vit son génie, épouvanté, à la contemplation de vos figures symboliques tracées sur le papier brûlant, comme autant de signes mystérieux vivants d’une haleine latente, que ne comprend pas le vulgaire profane et qui n’étaient que la révélation éclatante d’axiomes et d’hiéroglyphes éternels, qui ont existé avant l’univers et qui se maintiendront après lui. Elle se demande, penchée sur le précipice d’un point d’interrogation fatal, comment se fait-il que les mathématiques contiennent tant d’imposante grandeur et tant de vérité incontestable, tandis que, si elle les compare à l’homme, elle ne trouve en ce dernier que faux orgueil et mensonge. Alors, cet esprit supérieur, attristé, auquel la familiarité noble de vos conseils fait sentir davantage la petitesse de tête, blanchie, sur une main décharnée et reste absorbé dans des méditations surnaturelles. Il incline ses genoux devant vous, et sa vénération rend hommage à votre visage divin, comme à la propre image du Tout-Puissant. Pendant mon enfance, vous m’apparûtes, une nuit de mai, aux rayons de la lune, sur une prairie verdoyante, aux bords d’un ruisseau limpide, toutes les trois égales en grâce et en pudeur, toutes les trois pleines de majesté comme des reines. Vous fîtes quelques pas vers moi, avec votre longue robe, flottante comme une vapeur, et vous m’attirâtes vers vos fières mamelles, comme un fils béni. Alors, j’accourus avec empressement, mes mains crispées sur votre blanche gorge. Je me suis nourri, avec reconnaissance, de votre manne féconde, et j’ai senti que l’humanité grandissait en moi, et devenait meilleure. Depuis ce temps, ô déesses rivales, je ne vous ai pas abandonnées. Depuis ce temps, que de projets énergiques, que de sympathies, que je croyais avoir gravées sur les pages de mon coeur, comme sur du marbre, n’ont-elles pas effacé lentement, de ma raison désabusée, leurs lignes configuratives, comme l’aube naissante efface les ombres de la nuit ! Depuis ce temps, j’ai vu la mort, dans l’intention, visible à l’oeil nu, de peupler les tombeaux, ravager les champs de bataille, engraissés par le sang humain et faire pousser des fleurs matinales par dessus les funèbres ossements. Depuis ce temps, j’ai assisté aux révolutions de notre globe ; les tremblements de terre, les volcans, avec leur lave embrasée, le simoun du désert et les naufrages de la tempête ont eu ma présence pour spectateur impassible. Depuis ce temps, j’ai vu plusieurs générations humaines élever, dès le matin, ses ailes et ses yeux, vers l’espace, avec la joie inexpériente de la chrysalide qui salue sa dernière métamorphose, et mourir, le soir, avant le coucher du soleil, la tête courbée, comme des fleurs fanées que balance le sifflement plaintif du vent. Mais, vous, vous restez toujours les mêmes. Aucun changement, aucun air empesté n’effleure les rocs escarpés et les vallées immenses de votre identité. Vos pyramides modestes dureront davantage que les pyramides d’Égypte, fourmilières élevées par la stupidité et l’esclavage. La fin des siècles verra encore debout sur les ruines des temps, vos chiffres cabalistiques, vos équations laconiques et vos lignes sculpturales siéger à la droite vengeresse du ToutPuissant, tandis que les étoiles s’enfonceront, avec désespoir, comme des trombes, dans l’éternité d’une nuit horrible et universelle, et que l’humanité, grimaçante, songera à faire ses comptes avec le jugement dernier. Merci, pour les services innombrables que vous m’avez rendus. Merci, pour les qualités étrangères dont vous avez enrichi mon intelligence. Sans vous, dans ma lutte contre l’homme, j’aurais peut-être été vaincu. Sans vous, il m’aurait fait rouler dans le sable et embrasser la poussière de ses pieds. Sans vous, avec une griffe perfide, il aurait labouré ma chair et mes os. Mais, je me suis tenu sur mes gardes, comme un athlète expérimenté. Vous me donnâtes la froideur qui surgit de vos conceptions sublimes, exemptes de passion. Je m’en servis pour rejeter avec dédain les jouissances éphémères de mon court voyage et pour renvoyer de ma porte les offres sympathiques, mais trompeuses, de mes semblables. Vous me donnâtes la prudence opiniâtre qu’on déchiffre à chaque pas dans vos méthodes admirables de l’analyse, de la synthèse et de la déduction. Je m’en servis pour dérouter les ruses pernicieuses de mon ennemi mortel, pour l’attaquer, à mon tour, avec adresse, et plonger, dans les viscères de l’homme, un poignard aigu qui restera à jamais enfoncé  dans son corps ; car, c’est une blessure dont il ne se relèvera pas. Vous me donnâtes la logique, qui est comme l’âme elle-même de vos enseignements, pleins de sagesse ; avec ses syllogismes, dont le labyrinthe compliqué n’en est que plus compréhensible, mon intelligence sentit s’accroître du double ses forces audacieuses. À l’aide de cet auxiliaire terrible, je découvris, dans l’humanité, en nageant vers les bas-fonds, en face de l’écueil de la haine, la méchanceté noire et hideuse, qui croupissait au milieu de miasmes délétères, en s'admirant le nombril. Le premier, je découvris, dans les ténèbres de ses entrailles, ce vice néfaste, le mal ! supérieur en lui au bien. Avec cette arme empoisonnée que vous me prêtâtes, je fis descendre, de son piédestal, construit par la lâcheté de l’homme, le Créateur lui-même ! Il grinça des dents et subit cette injure ignominieuse ; car il avait pour adversaire quelqu’un de plus fort que lui. Mais, je le laisserai de côté, comme un paquet de ficelles, afin d’abaisser mon vol... Le penseur Descartes faisait, une fois, cette réflexion que rien de solide n’était bâti sur vous. C’était une manière ingénieuse de faire comprendre que le premier venu ne pouvait pas, sur le coup, découvrir votre valeur inestimable. En effet, quoi de plus solide que les trois qualités principales déjà nommées qui s’élèvent, entrelacées comme une couronne unique, sur le sommet auguste de votre architecture colossale ? Monument qui grandit sans cesse de découvertes quotidiennes, dans vos mines de diamant, et d’explorations scientifiques, dans vos superbes domaines. O mathématiques saintes, puissiez-vous, par votre commerce perpétuel, consoler le reste de mes jours de la méchanceté de l’homme et de l’injustice du Grand-Tout.

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30 mai 2016

Internationalisation du blog

Outils___Statistiques___CanalBlog

 

Notre blog ne suscite pas beaucoup de réponses. 

Par contre, il est assez visité (à ce jours, près de 2500 visiteurs) et si l'essentiel vient de France, un nombre non négligeable vient de l'étranger.

Le lien mis en début de message le montre clairement.

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Le chemin du Rorota

rorota_sentier3

 

Tous les cayennais connaissent cette charmante ballade forestière du chemin du Rorota.

Il y a un ponton qui fait à peu près 100 mètres de long en légère déclivité et avec quelques marches par deux ( 7 séries de 2 marches, voir la photo de droite ci-dessus). C'est le premier "ouvrage" que l'on rencontre quand on fait le circuit par la droite. Il permet de passer à pieds secs une zone plutôt marécageuse.

La dernière fois que j'ai fait cette ballade, j'ai remarqué que je suis toujours arrivé avec la jambe gauche juste devant chacune des 7 séries de deux marches.

Cela m'a donné l'idée du pb suivant, mijoté pendant le reste de la ballade.

 

1) On suppose que les 7 séries soient réparties aléatoirement et suivant une loi uniforme sur le ponton. Quelle est alors la proba d'arriver avant chaque marche sur sa jambe gauche?

 

2) En réalité l'emplacement de ces marches n'a rien d'aléatoire. Il dépend directement de la déclivité du sol. En fait les constructeurs ont mis une série de deux marches à chaque 7-ième de la pente gravie. Par contre c'est la pente elle-même qui peut être considérée comme étant régie par une loi uniforme: elle peut prendre toutes les valeurs possibles entre 2% et 4%, et cela sur 7 portions de longueur variable, elles-mêmes réparties suivant une loi uniforme sur la longueur totale. La pente moyenne étant de 3%.  Quelle est la proba d'arriver avant chaque série sur sa jambe gauche?

 

3) Plus généralement, si l'emplacement des séries de deux marches est régi par une combinaison de phénomènes aléatoires suivant tous des lois uniformes, peut-on affirmer qu'il y a une chance sur 2 d'arriver devant une série avec la jambe gauche?

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20 avril 2016

Le cow-boy, le barbier et le truand.

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 Wild Bill Hickok (Troy Grove, Illinois, 27 mai 1837 - Deadwood, Sud Dakota, 2 août 1876), de son vrai nom James Butler Hickok, est en train de se faire raser chez le barbier quand il voit dans le miroir face à lui et qui donne sur la porte grande ouverte  de la boutique, Joe le Balafré s'apprétant à le descendre, . En un éclair de seconde, Wild Bill fait volte-face et tire sur Joe l'atteignant en plein coeur.

Au moment du tir, le pistolet est à hauteur du coeur de Joe (1m40) et est à 50cm de l'axe de rotation de Wild Bill. Pendant sa trajectoire, la hauteur maximale de la balle est de 1m80. De plus, Joe était à 150 m de Wild Bill, qui a déclenché son tir au moment où sa vitesse de rotation sur lui-même était de 360°/s.

On demande:

1) de préciser la position angulaire du pistolet au moment du tir par rapport à la position initiale au début de la volte-face

2) de calculer la longueur de la trajectoire de la balle.

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10 mars 2016

Problème de l'abat-jour

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Un stylicien (ou "designer", pour les accrocs du franglais) travaille sur des projets de décoration d'abat-jour.

Pour son dernier projet, il a besoin de tracer sur un abat-jour conique une ligne correspondant à une section plane du cône.

Pour cela, il commence par inscrire 3 points (que nous noterons A, B et C) sur l'abat-jour et qui détermineront le plan de coupe souhaité. Comment fera-t-il ensuite pour tracer la ligne passant par ces 3 points et correspondant à la section du plan (ABC) avec le cône?

Evidemment, on peut proposer deux types de solutions:

Une solution permettant d'obtenir le tracé directement sur l'abat-jour monté. 

Une solution consistant à tracer la courbe adéquate sur le patron de l'abat-jour.

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04 mars 2016

Genèse de la démonstration d'un théorème.

 

 

geometrie10

 

Notre dernier problème, celui des spaghetti, a été l'occasion d'un échange intéressant au sujet des résultats trouvés. Cet échange s'étant fait principalement par mails, nous allons ci-dessous en présenter le déroulement, avec bien sûr l'accord des intervenants.

D'abord l'énoncé du résultat obtenu, le Théorème du Spaghetto:

Théorème: Soit un spaghetto brisé en n morceaux, les points de rupture étant répartis suivant une loi de probabilité uniforme sur toute la longueur du spaghetto. Alors la probabilité que ces n morceaux constituent les cotés d'un n-polygone est:  1-(n/(2ⁿ⁻¹)) 

Historique de l'obtention de ce puissant résultat.

Les deux responsables du blog, Dominique Strazzabosco et Eric Zeltz, après avoir résolu le cas particulier du triangle (n=3), se frottèrent ensuite au cas n=4 et au cas général. Dominique en partant sur un calcul direct de la probabilité en jeu, mais n'ayant pu finaliser le cas général. Eric en partant sur une méthode élémentaire (par un arbre) mais n'arrivant pas au même résultat ((1/2)) obtenu par Strazza dans le cas du quadrilatère. Par contre Eric traita sans difficulté par sa méthode le cas général, avec un résultat qui était confirmé par le résultat obtenu tous les deux pour n=3 ((1/4)) et celui obtenu par lui pour n=4 avec la même démarche que dans le cas général.
Pour trancher, Eric fit appel à deux autres collègues (Stéphane Kirsch et Olivier Bertrand) et leur soumit le problème.


C'est l'échange mail qui en suivit que nous allons maintenant relater:

D'abord le premier apport de Stéphane:

Premier_apport_de_Stephane

qui suscita la réaction et confirmation suivante d'Olivier:

"Stéphane m'a devancé, et m’épargne de rédiger ma solution car je trouve les même résultats, et en faisant exactement comme lui !"

Peu après, Stéphane finalise son travail par l'apport suivant: 

suite_Stephane 

Ce à quoi Eric réagit de la manière suivante: 

"Merci pour ce joli résultat, Stéphane, mais effectivement, tu utilises l'artillerie lourde! Moi j'étais parti tout bêtement à partir d'un arbre, mais je n'avais pas obtenu ton résultat. J'ai du me tromper quelque part. Si ton résultat est juste (et je pense qu'il l'est) l'événement contraire (ne pas pouvoir faire un polygone) aurait pour probabilité n/2^(n-1) ce qui correspondrait à n branches de longueur n-1 et de proba 1/2 pour chaque arête de l'arbre. J'étais pas loin d'avoir cela, mais j'ai dû mal analyser quelque chose quelque part. Je reprendrais cela à tête reposée et quand j'aurai plus de temps."

 

 Olivier donne alors son grain de sel et propose une méthode certes moins technique que celle de Stéphane, mais loin d'être élémentaire. (C'est là-dessus que Strazza avait échoué).

"En tout cas, en passant par l’événement contraire, on est amené, suivant la même méthode que Stéphane, à intégrer la mesure le Lebesgue sur la réunion disjointe des domaines de la forme :{ (x1,...,x(n-1))  / 0<x1<x1<...<xk<x(k+1)-1/2<...<x(n-1)-1/2<1/2}.
La somme de ces intégrales se simplifie en fait très bien avec un binôme de Newton, et j'obtiens au final le même résultat que Stéphane sans passer par des tranches d'hypercube et les nombres eulériens. 
Cela reste cela dit un peu bourrin, et je suis curieux de voir un raisonnement et/ou un calcul plus simple avec un arbre !"
Eric répond à Olivier de la manière suivante:
 "Soit Xi i variant de 1 à n-1 les abscisses croissantes des points de rupture.
Si tous les Xi sont supérieurs à 1/2 (proba 1/2^(n-1)) on ne peut faire le polygone.
Si X1<1/2 (proba 1/2) et les autres Xi>1/2 , Pour i>=2, les Xi sont répartis uniformément sur l'intervalle de longueur 1: [X1;X1+1], Y. Si tous les Xi sont plus grands que X1+ 1/2  (proba 1/2^(n-2), on ne peut faire le polygone. Finalement cette situation a pour proba 1/2*1/2^(n-2)=1/2^(n-1).

 Si X1<1/2 et X2<1/2 (proba 1/2²) et les autres Xi>1/2, Pour i>=3 les Xi sont répartis uniformément sur l'intervalle de longueur 1: [X2;X2+1]. Si tous les Zi  sont sup à X2+1/2 (proba 1/2^(n-3)), on ne peut faire le polygone. 

 Cette situation a encore pour proba (1/2²)*1/2^(n-3)=1/2^(n-1).

 Etc, etc.

 

 On balaye ainsi les n cas possibles où on ne peut faire de polygone, et toujours avec le même résultat de 1/2^(n-1). Donc la proba de ne pouvoir faire un polygone est de n/2^(n-1) et celle de pouvoir en faire un de 1-n/2^(n-1)"
Olivier objecte alors ceci à Eric:
"Ok merci beaucoup !
Mais je ne suis pas très à l'aise avec le principe de supposer les points de rupture ordonnés, tout en donnant des probas de la forme 1/2^k qu'un ensemble de k d'entre eux soit dans un intervalle de longueur 1/2, ce qui suppose que justement ils ne sont plus ordonnés."
Eric prend acte de l'objection d'Olivier mais reste persuadé qu'une solution élémentaire existe à ce problème. Il en propose effectivement une peu après:
"Si on admet que la probabilité que la longueur du premier morceau soit supérieure à 1/2 est de 1/2^(n-1), la répartition des cassures obéissant à une loi uniforme, on est obligé d'admettre qu'il en est de même pour les autres morceaux: pourquoi le résultat-serait-il différent pour les autres morceaux?Or c'est bien le cas puisque pour que le premier morceau soit supérieur à 1/2, cela nécessite que toutes les abscisses des n-1 cassures dépassent 1/2, ce qui à chaque fois a une probabilité de 1/2.D'où le résultat: proba de 1/2^(n-1) pour que l'un quelconque des n morceaux soit >1/2. Donc proba de n/2^(n-1) pour qu'on ne puisse faire un polygone.Où est la faille, cette fois?"
Olivier reconnait la pertinence de l'argument mais ne le valide pas comme pleinement mathématique: Lisons-le:
" Oui, c'est un argument de symétrie qui est parfaitement convainquant, mais j'ai tendance à le ranger dans la catégorie des arguments "à la physicienne" (ce qui n'est pas du tout péjoratif dans mon intention, bien au contraire, je suis pour la simplicité pour répondre correctement à un problème).
J'ai peut-être une vision trop étroite du problème, mais la phrase "on est obligé d'admettre qu'il en est de même pour les autres morceaux" ne constitue pas selon moi une preuve mathématique. Bien sûr, on ne voit pas pourquoi le résultat serait différent pour les autres morceaux, mais je ne vois pas comment étayer cette "vision" par un véritable argument mathématique de symétrie.
De fait, on est soulagé de constater qu'avec un véritable calcul, sans cette hypothèse de symétrie, on trouve bien que le fait d'avoir une loi uniforme sur le (n-1)-uplet des répartitions des brisures, chacune d'entre elle ne suivant  pas une loi uniforme, (c'est bien la le hic !), la loi donnant la longueur du k-ième morceau ne dépende pas de k."
Dans la foulée, Stéphane propose alors une solution qui a le mérite d'être à la fois élémentaire et pleinement satisfaisante pour un mathématicien scrupuleux:
Si on note X1,X2,...,Xn-1 les variables aléatoires représentant les différentes points de cassures se notre spaghetto (n morceaux = n-1 cassures).
Les Xi suivent toutes une loi uniforme sur [0,1] et sont mutuellement indépendantes.
On cherche alors la probabilité d'avoir un morceau de longueur >1/2:
- premier cas: ce morceau est délimité à gauche par 0. La probabilité de ce cas est (1/2)^{n-1} puisque c'est la probabilité que tous les Xk soient >1/2.
- autres cas: ce morceau est délimité à gauche par un Xk. 
    Pour k fixé, la probabilité d'un tel événement est la probabilité que Xk<1/2 et que Xh pour h≠k vérifie Xh appartient à [0,1]\[Xk,Xk+1/2]. Cet ensemble est de mesure 1/2, les Xh sont indépendants, donc la probabilité obtenue est bien (1/2)*(1/2)^{n-2}=(1/2)^{n-1}.
Tous les événements décrits plus haut sont presque disjoints (leur intersection est négligeable à chaque fois, puisque la probabilité qu'un Xk soit nul ou que Xk=Xh pour 
h≠k est nulle). La somme des probabilité obtenues vaut alors n/2^{n-1}. CQFD."
Il ne restait plus qu'à conclure. Voici la conclusion d'Eric:

"La solution de Stéphane met parfaitement au clair l'évidence intuitive que la position du plus gand morceau ne change rien à la donne. Comme quoi il est souvent plus difficile de trouver et mettre au point une solution utilisant un raisonnement élémentaire qu'une solution technique mathématiquement (du moins quand on maitrise cette technicité mathématique). 

Mais la beauté d'une démonstration est à mon avis (c'est très subjectif) obtenue quand elle utilise un minimum de techniques pour un maximum de résultat"

 

PS: Alors que nous réfléchissions à une autre démonstration fondée sur des considérations géométriques, nous avons appris après coup que l'énoncé et la démonstration de ce résultat existaient déjà.

Voir spaguetto_gomez__2_, article paru en 2006.

La démonstration est géométrique et ressemble assez à celle que nous étions en train de mijoter.

Par contre, il nous paraît abusif d'admettre sans autre forme de procès concernant les variables aléatoires en jeu que la proba recherchée est le rapport des mesures des domaines géométriques concernés. C'est ce que pourtant font les auteurs de l'article cité quand ils affirment ceci:

"It is clear that P(n) = µ(Υn)/µ(∆n), where µ is any (n − 1)-dimensional Euclidean measure on the subsets of ∆n."

A notre sens, il faut le justifier, et c'est ce qui d'ailleurs manque encore actuellement à notre démonstration en construction pour que nous puissions vous la présenter.

 

 

 

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