Le Blog des mathématiques concrètes.

27 juin 2017

Deux approches bien différentes...

concernant le problème du coureur de 1500:

Celle de Thierry, qui est professeur de physique:

 Il est parti du cas d'un athlète d'un certain âge qui fait 6mn au 1500 et qui pèse 80kg: quel temps fera-t-il s'il pèse 81kg?

Voilà sa solution:

GEDC0017

 Solution à laquelle il a rajouté ces compléments:

Si nous gardons identique la puissance du coureur à chaque bond ainsi que son angle d’élévation, les variables seront la masse m, sa vitesse v et le temps t du parcours.

Les calculs montrent que t et m sont  proportionnels : m varie  de 70 à 71kg et donc t de 275s à 280s soit un écart de 5s.

Dans la réalité l’angle d’élévation permet d’allonger la foulée et la tangente de cette angle est par contre inversement proportionnelle à la masse.

Tan30=0,577  et tan31=0,600 on voit que la variation de 1 degré a son importance.

Tout cela pour dire que 5s par kg n’est valable que sur un intervalle centré sur la masse optimale du coureur.

Je partage totalement le point de vue d’Eric : la physique est une forme de mathématique appliquée.

Généralement le physicien propose un modèle du phénomène pour qu’il cadre avec les outils mathématiques.

J’ai supposé  ici que le coureur effectue une multitude de bonds identiques.

 

Voilà comment personnellement j'analyse la situation:

 

La quantité d’énergie E  dont dispose l’athlète est dans les deux cas la même.

A quoi sert cette énergie ?

D’abord au moment de la poussée, au début de chaque foulée :

1-      Pour déplacer son centre de gravité horizontalement : énergie dépensée proportionnelle à sa masse et au cosinus de l’angle a d’attaque du pied par rapport au sol au moment de la poussée(voir la figure 1)

2-      Pour déplacer son centre de gravité verticalement: énergie dépensée proportionnelle à sa masse et au sinus de l’angle a d’attaque du pied par rapport au sol au moment de la poussée (voir la figure 1).

 

Ensuite au moment de l’amortissement, à la fin de chaque foulée (voir figure 2) :

3-      Pour absorber le choc à la réception au sol : proportionnel à la masse et au sinus de l’angle b que fait le pied de réception avec le sol (voir figure 2). On pourra supposer que a=b, ce qui est sensiblement la réalité lorsqu’on observe un athlète courir.

 Ensuite pour la période intermédiaire de soutien, entre la réception et la poussée (voir figure 3)

 4-      Pour se maintenir debout : proportionnel à la masse de l’athlète.

  

Enfin  pour lutter contre le freinage provoqué par  l’air :

5-      Cette dernière  énergie dépensée par l’athlète est  proportionnelle à la surface de prise au vent et au carré de la vitesse et n’est donc  pas modifiée par le changement de poids de l’athlète (du moins pour un seul kg, pour 10kg cela commencerait à jouer un rôle car l’athlète n’aurait certainement  plus la même silhouette, donc plus le même aérodynamisme).

Donc pour  les quatre seuls points où la déperdition d’énergie sera modifiée par le changement de poids de l’athlète, cette déperdition sera proportionnelle à la masse, donc dans notre cas, le fait de passer de 70kg à 71kg entraine une déperdition supplémentaire de 1/71ème de l’énergie initiale.

Donc  en première approche,  le capital énergie E dont l’athlète dispose au début de sa course, dans le cas où il pèse 71kg,  sera complètement  épuisé au 70/71ème  de la course s’il reste sur la même vitesse que lorsqu’il pèse 70kg. Soit donc  quand il aura fait environ 1479 m. Ce qui l’oblige donc à ralentir légèrement son allure, pour pouvoir terminer les 21 m qu’il reste  pour faire le 1500. On peut  considérer par ailleurs que ce ralentissement est trop faible pour modifier sensiblement le freinage provoqué par l’air.

On en resterait là s’il s’agissait d’un cycliste, puisque de toute façon le nombre de tours de pédales serait le même dans les deux cas (qu’il pèse 70kg ou 71kg)

Mais ce n’est pas un cycliste, c’est un coureur, et à force de propulsion égale (notre hypothèse), sa foulée sera plus courte de 1/71ème puisque la hauteur maximale de cette foulée est inversement proportionnelle à sa masse, donc  sera elle-même diminuée de 1/71ème. Ce qui veut dire qu’il fera 1/71ème de foulées supplémentaires. Donc par exemple si sa foulée à 70kg est de 1,5m (foulée assez classique), sur un 1500m,  il fera 1000 foulées lorsqu’il pèse 70kg et environ 1014 foulées s’il pèse 71kg. 14 foulées de plus, donc 14 impacts au sol de plus, ce qui entame aussi son énergie initiale.

Donc en fait cela augmente encore  la déperdition d’énergie. Ce qui veut donc dire que s’il restait sur sa vitesse de lorsqu’il pèse 70kg, il aurait dilapidé complètement son énergie initiale, non pas à 21m de l’arrivée comme un cycliste, mais sans doute quelques mètres de plus avant la fin de son 1500 (étude plus pointue nécessaire  pour évaluer cette distance avec précision). Donc un ralentissement supplémentaire est nécessaire pour qu’il puisse terminer son 1500m.

Or si on se réferre à la règle utilisée dans les milieux du demi-fond, il passerait de 4mn 35s à environ 4mn40s. Sa vitesse moyenne étant d'environ 5m/s, cela correspond à un surplus de 25m environ, ce qui est tout-à-fait réaliste au regard des remarques précédentes. 

 

Les figures sont sur le document suivant:

Figure_1

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25 juin 2017

Le coureur de 1500.

Cette fois, il s'agit d'un problème touchant plus à la physique qu'aux maths. Mais après tout, les sciences physiques ne sont-elles pas des maths concrètes?

course de 1500

Dans les milieux de l'athlétisme, on dit souvent qu'à forme et entrainement égaux, un kg de plus, c'est environ 4 ou 5 secondes de plus sur un 1500m.

On demande de vérifier cela dans le cas suivant: 

Un athlète pesant 70kg a fait 4mn35s sur une course de 1500m.

Tout restant égal par ailleurs, quel temps fera-t-il s'il pèse 71 kg ?

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11 avril 2017

Le problème du camion-toupie.

camion-toupieLa toupie d'un camion-toupie est formée d'un cylindre de 1,5 m de rayon et de 1,3 m de hauteur, cylindre prolongé au niveau de ses deux bases par deux cones tronqués de petit rayon 1 m et de hauteur 1,3 m.

Cette toupie est inclinée de telle sorte que son axe ait une pente de 20% avec l'horizontale. Enfin, elle est emplie à 80% de béton.

On demande d'indiquer la position précise du niveau supérieur du béton dans la toupie ainsi que la forme précise du pourtour de ce niveau supérieur.

 

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23 mars 2017

Problème de partage.

un riche laboureur

 

Un Laboureur, sentant son décés très prochain

Fit venir ses sept fils, leur parla sans témoins.

"J'aimerai", leur dit-il,"que les sept parts soient égales

De ma propriété de forme polygonale.

Sachant que ce terrain est un quadrilatère

Et puis que vous ne disposez pour cela faire

Que d'une corde et d'un vieux centimètre en fer

Saurez-vous la partager en  lots d'un tenant?

Si oui, dans ma tombe je serais très content

d'avoir sept fils capables de se creuser tête

pour se partager le bien de leur riche ancêtre."

 

Sur une idée de Thierry, professeur de physique au lycée Damas.

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02 janvier 2017

Problème ouvert: majoration du pourcentage d'erreur commise par les GPS sur le calcul des longueurs.

Image-GPS

Les coureurs à pied et les cyclistes utilisant des montres GPS le savent: les longueurs données par leur GPS ne sont pas exactement les distances réelles qu'ils ont parcourues. Je m'en suis encore aperçu hier où j'ai fait deux fois la même boucle: la première fois, la longueur affichée par le GPS est de 4790m, la seconde de 4860m, ce qui fait quand même une différence de plus de 1%! 

Il y a plusieurs raisons à cela. On trouvera sur le lien suivant la description des principales:

http://www.montre-cardio-gps.fr/les-7-erreurs-que-fait-regulierement-votre-montre-gps/

 

Le problème est le suivant: On suppose que l'origine de l'erreur de calcul de la distance par rapport à la distance réelle ne provient que d'une seule raison: l'interpolation qui est faite de points GPS en points GPS, ces points étant émis toutes les secondes. On demande de majorer au mieux l'erreur que pourra commettre le GPS. Pour cela, on fera intervenir les trois paramètres suivants: la vitesse supposée constante du coureur, la longueur du parcours et sa sinuosité. On commencera par définir la "fonction sinuosité" caractérisant chaque parcours.

Il s'agit ici d'un problème ouvert: contrairement aux problèmes précédents donnés dans le blog, il n'a pas encore été résolu par les deux créateurs du blog

Nous espérons que cette nouvelle formule suscitera plus de réactions, car si notre blog est assez visité, et internationalement, nous observons que pour l'instant nous avons eu très peu de solutions proposées. 

 

Eric Zeltz

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30 juin 2016

Mathématiques et théologie.

 

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L'un des auteurs de ce blog est à la fois mathématicien et catholique pratiquant.

Il s'est forcément posé plus d'une fois la question de la conciliation possible ou pas des vérités scientifiques avec ce que proclame la foi catholique.

Cela est précisé à l'intérieur de l'un de ses ouvrages, intitulé "Une contre-athéologie chrétienne", ouvrage dont vous trouverez la présentation sur le lien suivant:

https://www.numilog.com/777016/Une-contre-atheologie-chretienne.ebook

Il y a notamment dans ce livre un chapitre qui précise le parallèle entre les sciences mathématiques et la théologie chrétienne, tel que le voit son auteur.

C'est encore une autre façon bien concrète, d'aborder et d'utiliser les mathématiques, et donc il nous paraît légitime d'en livrer le contenu dans ce blog. Vous le trouverez ci-dessous:

 

parall_le_math_matiques_et_th_ologie

 

Pour en donner le contexte, il s'agit d'un extrait de la première partie du livre qui est essentiellement une critique d'un ouvrage de Claude Allègre intitulé "Dieu face à la science".

La seconde partie, quant à elle, se confronte aux thèses de Michel Onfray, telles qu'il les a exprimées dans son célèbre "Traité d'athéologie".

 

Eric Zeltz

 

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03 juin 2016

L'Evariste Galois des poètes.

 

 

téléchargement

 

 Les mathématiques concrètes, ce n'est pas uniquement résoudre par les mathématiques des problèmes concrets. Cela est peut-être aussi la perception concrète qu'a de cette science tel écrivain ou tel poète. 

Dans les Chants de Maldoror d' Isodore Ducasse, Comte de Lautréamont, nous avons ces pages qui contribuent à faire de lui (il était presqu'aussi jeune quand il mourut et dans un autre domaine que les mathématiques tout aussi génial) l'Evariste Galois des poètes où vinrent s'abreuver par la suite tous les surréalistes:

O mathématiques sévères, je ne vous ai pas oubliées, depuis que vos savantes leçons, plus douces que le miel, filtrèrent dans mon coeur, comme une onde rafraîchissante. J’aspirais instinctivement, dès le berceau, à boire à votre source, plus ancienne que le soleil, et je continue encore de fouler le parvis sacré de votre temple solennel, moi, le plus fidèle de vos initiés. Il y avait du vague dans mon esprit, un je ne sais quoi épais comme de la fumée ; mais, je sus franchir religieusement les degrés qui mènent à votre autel, et vous avez chassé ce voile obscur, comme le vent chasse le damier. Vous avez mis, à la place, une froideur excessive, une prudence consommée et une logique implacable. À votre lait fortifiant, mon intelligence s’est rapidement développée, et a pris des proportions immenses, au milieu de cette clarté ravissante dont vous faites présent, avec prodigalité, à ceux qui vous aiment d’un sincère amour. Arithmétique ! algèbre ! géométrie ! trinité grandiose ! triangle lumineux ! Celui qui ne vous a pas connues est un insensé ! Il mériterait l’épreuve des plus grands supplices ; car, il y a du mépris aveugle dans son insouciance ignorante ; mais, celui qui vous connaît et vous apprécie ne veut plus rien des biens de la terre ; se contente de vos jouissances magiques ; et, porté sur vos ailes sombres, ne désire plus que de s’élever, d’un vol léger, en construisant une hélice ascendante ; vers la voûte sphérique des cieux. La terre ne lui montre que des illusions et des fantasmagories morales ; mais vous, ô mathématiques concises, par l’enchaînement rigoureux de vos propositions tenaces et la constance de vos lois de fer, vous faites luire, aux yeux éblouis, un reflet puissant de cette vérité suprême dont on remarque l’empreinte dans l’ordre de l’univers. Mais, l’ordre qui vous entoure, représenté surtout par la régulation parfaite du carré, l’ami de Pythagore, est encore plus grand ; car, le Tout Puissant s’est révélé complètement, lui est ses attributs, dans ce travail mémorable qui consista à faire sortir, des entrailles du chaos, vos trésors de théorèmes et vos magnifiques splendeurs. Aux époques antiques et dans les temps modernes, plus d’une grande imagination humaine vit son génie, épouvanté, à la contemplation de vos figures symboliques tracées sur le papier brûlant, comme autant de signes mystérieux vivants d’une haleine latente, que ne comprend pas le vulgaire profane et qui n’étaient que la révélation éclatante d’axiomes et d’hiéroglyphes éternels, qui ont existé avant l’univers et qui se maintiendront après lui. Elle se demande, penchée sur le précipice d’un point d’interrogation fatal, comment se fait-il que les mathématiques contiennent tant d’imposante grandeur et tant de vérité incontestable, tandis que, si elle les compare à l’homme, elle ne trouve en ce dernier que faux orgueil et mensonge. Alors, cet esprit supérieur, attristé, auquel la familiarité noble de vos conseils fait sentir davantage la petitesse de tête, blanchie, sur une main décharnée et reste absorbé dans des méditations surnaturelles. Il incline ses genoux devant vous, et sa vénération rend hommage à votre visage divin, comme à la propre image du Tout-Puissant. Pendant mon enfance, vous m’apparûtes, une nuit de mai, aux rayons de la lune, sur une prairie verdoyante, aux bords d’un ruisseau limpide, toutes les trois égales en grâce et en pudeur, toutes les trois pleines de majesté comme des reines. Vous fîtes quelques pas vers moi, avec votre longue robe, flottante comme une vapeur, et vous m’attirâtes vers vos fières mamelles, comme un fils béni. Alors, j’accourus avec empressement, mes mains crispées sur votre blanche gorge. Je me suis nourri, avec reconnaissance, de votre manne féconde, et j’ai senti que l’humanité grandissait en moi, et devenait meilleure. Depuis ce temps, ô déesses rivales, je ne vous ai pas abandonnées. Depuis ce temps, que de projets énergiques, que de sympathies, que je croyais avoir gravées sur les pages de mon coeur, comme sur du marbre, n’ont-elles pas effacé lentement, de ma raison désabusée, leurs lignes configuratives, comme l’aube naissante efface les ombres de la nuit ! Depuis ce temps, j’ai vu la mort, dans l’intention, visible à l’oeil nu, de peupler les tombeaux, ravager les champs de bataille, engraissés par le sang humain et faire pousser des fleurs matinales par dessus les funèbres ossements. Depuis ce temps, j’ai assisté aux révolutions de notre globe ; les tremblements de terre, les volcans, avec leur lave embrasée, le simoun du désert et les naufrages de la tempête ont eu ma présence pour spectateur impassible. Depuis ce temps, j’ai vu plusieurs générations humaines élever, dès le matin, ses ailes et ses yeux, vers l’espace, avec la joie inexpériente de la chrysalide qui salue sa dernière métamorphose, et mourir, le soir, avant le coucher du soleil, la tête courbée, comme des fleurs fanées que balance le sifflement plaintif du vent. Mais, vous, vous restez toujours les mêmes. Aucun changement, aucun air empesté n’effleure les rocs escarpés et les vallées immenses de votre identité. Vos pyramides modestes dureront davantage que les pyramides d’Égypte, fourmilières élevées par la stupidité et l’esclavage. La fin des siècles verra encore debout sur les ruines des temps, vos chiffres cabalistiques, vos équations laconiques et vos lignes sculpturales siéger à la droite vengeresse du ToutPuissant, tandis que les étoiles s’enfonceront, avec désespoir, comme des trombes, dans l’éternité d’une nuit horrible et universelle, et que l’humanité, grimaçante, songera à faire ses comptes avec le jugement dernier. Merci, pour les services innombrables que vous m’avez rendus. Merci, pour les qualités étrangères dont vous avez enrichi mon intelligence. Sans vous, dans ma lutte contre l’homme, j’aurais peut-être été vaincu. Sans vous, il m’aurait fait rouler dans le sable et embrasser la poussière de ses pieds. Sans vous, avec une griffe perfide, il aurait labouré ma chair et mes os. Mais, je me suis tenu sur mes gardes, comme un athlète expérimenté. Vous me donnâtes la froideur qui surgit de vos conceptions sublimes, exemptes de passion. Je m’en servis pour rejeter avec dédain les jouissances éphémères de mon court voyage et pour renvoyer de ma porte les offres sympathiques, mais trompeuses, de mes semblables. Vous me donnâtes la prudence opiniâtre qu’on déchiffre à chaque pas dans vos méthodes admirables de l’analyse, de la synthèse et de la déduction. Je m’en servis pour dérouter les ruses pernicieuses de mon ennemi mortel, pour l’attaquer, à mon tour, avec adresse, et plonger, dans les viscères de l’homme, un poignard aigu qui restera à jamais enfoncé  dans son corps ; car, c’est une blessure dont il ne se relèvera pas. Vous me donnâtes la logique, qui est comme l’âme elle-même de vos enseignements, pleins de sagesse ; avec ses syllogismes, dont le labyrinthe compliqué n’en est que plus compréhensible, mon intelligence sentit s’accroître du double ses forces audacieuses. À l’aide de cet auxiliaire terrible, je découvris, dans l’humanité, en nageant vers les bas-fonds, en face de l’écueil de la haine, la méchanceté noire et hideuse, qui croupissait au milieu de miasmes délétères, en s'admirant le nombril. Le premier, je découvris, dans les ténèbres de ses entrailles, ce vice néfaste, le mal ! supérieur en lui au bien. Avec cette arme empoisonnée que vous me prêtâtes, je fis descendre, de son piédestal, construit par la lâcheté de l’homme, le Créateur lui-même ! Il grinça des dents et subit cette injure ignominieuse ; car il avait pour adversaire quelqu’un de plus fort que lui. Mais, je le laisserai de côté, comme un paquet de ficelles, afin d’abaisser mon vol... Le penseur Descartes faisait, une fois, cette réflexion que rien de solide n’était bâti sur vous. C’était une manière ingénieuse de faire comprendre que le premier venu ne pouvait pas, sur le coup, découvrir votre valeur inestimable. En effet, quoi de plus solide que les trois qualités principales déjà nommées qui s’élèvent, entrelacées comme une couronne unique, sur le sommet auguste de votre architecture colossale ? Monument qui grandit sans cesse de découvertes quotidiennes, dans vos mines de diamant, et d’explorations scientifiques, dans vos superbes domaines. O mathématiques saintes, puissiez-vous, par votre commerce perpétuel, consoler le reste de mes jours de la méchanceté de l’homme et de l’injustice du Grand-Tout.

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30 mai 2016

Internationalisation du blog

Outils___Statistiques___CanalBlog

 

Notre blog ne suscite pas beaucoup de réponses. 

Par contre, il est assez visité (à ce jours, près de 2500 visiteurs) et si l'essentiel vient de France, un nombre non négligeable vient de l'étranger.

Le lien mis en début de message le montre clairement.

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Le chemin du Rorota

rorota_sentier3

 

Tous les cayennais connaissent cette charmante ballade forestière du chemin du Rorota.

Il y a un ponton qui fait à peu près 100 mètres de long en légère déclivité et avec quelques marches par deux ( 7 séries de 2 marches, voir la photo de droite ci-dessus). C'est le premier "ouvrage" que l'on rencontre quand on fait le circuit par la droite. Il permet de passer à pieds secs une zone plutôt marécageuse.

La dernière fois que j'ai fait cette ballade, j'ai remarqué que je suis toujours arrivé avec la jambe gauche juste devant chacune des 7 séries de deux marches.

Cela m'a donné l'idée du pb suivant, mijoté pendant le reste de la ballade.

 

1) On suppose que les 7 séries soient réparties aléatoirement et suivant une loi uniforme sur le ponton. Quelle est alors la proba d'arriver avant chaque marche sur sa jambe gauche?

 

2) En réalité l'emplacement de ces marches n'a rien d'aléatoire. Il dépend directement de la déclivité du sol. En fait les constructeurs ont mis une série de deux marches à chaque 7-ième de la pente gravie. Par contre c'est la pente elle-même qui peut être considérée comme étant régie par une loi uniforme: elle peut prendre toutes les valeurs possibles entre 2% et 4%, et cela sur 7 portions de longueur variable, elles-mêmes réparties suivant une loi uniforme sur la longueur totale. La pente moyenne étant de 3%.  Quelle est la proba d'arriver avant chaque série sur sa jambe gauche?

 

3) Plus généralement, si l'emplacement des séries de deux marches est régi par une combinaison de phénomènes aléatoires suivant tous des lois uniformes, peut-on affirmer qu'il y a une chance sur 2 d'arriver devant une série avec la jambe gauche?

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20 avril 2016

Le cow-boy, le barbier et le truand.

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 Wild Bill Hickok (Troy Grove, Illinois, 27 mai 1837 - Deadwood, Sud Dakota, 2 août 1876), de son vrai nom James Butler Hickok, est en train de se faire raser chez le barbier quand il voit dans le miroir face à lui et qui donne sur la porte grande ouverte  de la boutique, Joe le Balafré s'apprétant à le descendre, . En un éclair de seconde, Wild Bill fait volte-face et tire sur Joe l'atteignant en plein coeur.

Au moment du tir, le pistolet est à hauteur du coeur de Joe (1m40) et est à 50cm de l'axe de rotation de Wild Bill. Pendant sa trajectoire, la hauteur maximale de la balle est de 1m80. De plus, Joe était à 150 m de Wild Bill, qui a déclenché son tir au moment où sa vitesse de rotation sur lui-même était de 360°/s.

On demande:

1) de préciser la position angulaire du pistolet au moment du tir par rapport à la position initiale au début de la volte-face

2) de calculer la longueur de la trajectoire de la balle.

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