Le Blog des mathématiques concrètes.

20 juin 2018

Origine historique d'une méthode. Méthode de multiplication maya.

multiplication_ok

La méthode de multiplication par les doigts exposée dans l'article précédent repose sur une propriété algébrique très facile à trouver:

 

(5+a) X ( 5 + b) = 10 X (a+b) + ( 5-a) X (5 - b)

 

Mais la méthode n'en reste pas moins géniale. Je n'ai pas réussi à savoir où et comment elle a été découverte pour la première fois.

 

Est ce que c'est la relation algébrique précédente qui a conduit à la méthode? Dans ce cas il fallait penser à mettre cette relation en rapport avec les doigts d'une main et ça demande un esprit très observateur et assez génial même si je le répète la relation algébrique elle même est très simple.

 

Ou est-ce que c'est par exemple un instituteur qui observant les difficultés de certains de ses élèves a cherché plus ou moins longuement à voir comment faire avec ses doigts, est tombé un peu par hasard sur un exemple où cette méthode fonctionnait, s'est aperçu ensuite que ce n'était pas un hasard et ensuite l'a prouvé rapidement avec la relation précédente? Si c'est le cas, c'était sans doute un excellent pédagogue, capable de belles trouvailles pédagogiques!

 

Je penche plutôt sur cette seconde éventualité et si c'est la cas, je tire mon chapeau à ce pédagogue inconnu.

C'est peut-être aussi un panachage des deux.

Si un lecteur de ce blog connaît l'origine historique de la méthode, je le remercie d'avance de bien vouloir nous en faire part.

 

Une autre méthode permet de multiplier n'importe quel nombre entier (ou même décimal) par n'importe quel nombre entier composé d'autant de chiffres et cela uniquement en sachant compter, sans avoir besoin de faire aucune multiplication.

Elle est exposée sur la video suivante:

https://www.youtube.com/watch?v=xLaBXkmSMqs

La méthode est à mon avis plus immédiate à trouver que la précédente, demande moins de génie pédagogique ou génie tout court. Elle n'en reste pas moins interessante. Cela dit elle repose sur le système décimal. Or cette méthode est souvent appelée "méthode maya". Les mayas connaissaient le système décimal?

A nouveau, je fais appel aux connaissances éventuelles en histoire des mathématiques des lecteurs du blog pour répondre à ces différentes interrogations

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16 juin 2018

Multiplier avec les doigts.

multiplier

 

Hier j'ai assisté à une conférence faite par un didacticien (Denis BUTLEN, de l'Université PARIS Diderot) destinée aux professeurs des écoles et de collège-lycée au sujet de l'apprentissage des mathématiques pour les élèves en difficulté. Je ferais dans un article ultérieur de ce blog une analyse critique de cette conférence qui, le moins qu'on puisse dire, ne m'a pas convaincu.

Au moment des questions, une personne ( sans doute un professeur des écoles) a posé cette question au conférencier:

"Comment réglez-vous le problème du 7 X 8, ou  9 X 7, ou 8 X 9, etc., qui bizarrement ont souvent beaucoup de mal à être assimilés par de nombreux élèves?"

Question à laquelle le conférencier répond en donnant une méthode basée sur la distributivité. En gros:

7 X 8 = (5 + 2) X (5 + 3)= 5 X 5 + 2 X 5 + 5 X 3 + 2 X 3 = 25 + 10 + 15 + 6= 56

Ouf!

Méthode evidemment impraticable surtout si on veut que l'élève donne rapidement le résultat, ce qui evidemment était le souci de la personne qui posait cette question.

Il existe pourtant une méthode très simple qui permet de retrouver très rapidement les résultats des multiplications de 6, 7, 8 et 9 dans la mesure où on connaît les précédentes ( celles de 2, 3, 4 et 5) et qui en général sont bien assimilées par quasi-tous les élèves.

Cette méthode est déjà expliquée par l'image de cet article. Si vous voulez une explication plus dynamique et plus complète, regardez cette vidéo:

https://youtu.be/4qBs20CoVfE

Deux questions à propos de cette méthode:

1- Donnez en une justification mathématique.

2- Cette méthode fonctionnerait-elle pour les tables de  7, 8, 9, 10 et 11 si au lieu d'avoir 5 doigts par main, nous en avions 6 et en supposant connues les tables de 2 à 6?

 

 

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30 mai 2018

Vols de pigeons

pigeon

 

Trois pigeons Alphonse, Barnabé  et Clovis sont sur chaque sommet d'un triangle équilatéral ABC de coté 100km. Ils partent simultanément chacun dans la direction du centre de gravité G du triangle ABC et continuent leurs périples toujours dans la même direction une fois ce centre de gravité atteint.

On appelle "distance commune" la somme des cotés du triangle qu'ils forment à eux trois. Par exemple, au moment du départ, cette distance commune est de 300km. Alphonse vole à 40km/h, Barnabé à 45km/h et Clovis à 50km/h.

Quelle est la "distance commune" minimale de ces trois pigeons?

Si vous trouvez ce problème trop facile, vous pourrez ensuite vous frotter à la variante suivante:

Même question, sachant que cette fois quand l'un des pigeons atteint le centre de gravité, il rebrousse chemin et rejoint son point de départ. Les vitesses étant inchangées.

Enfin, si votre faim mathématique n'est toujours pas comblée, toujours la même question sachant que chaque pigeon ne cesse de faire des allers et venues entre son point de départ et le centre de gravité G, toujours aux mêmes vitesses.

 

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06 mai 2018

La quatrième dimension.

La_Quatrieme_Dimension

 

L'excellent vulgarisateur scientifique Mickaël LAUNAY a fait une série de 4 vidéos pour présenter la quatrième dimension.

C'est lumineux!

 

Vous les trouverez sur le lien suivant: https://www.youtube.com/watch?v=LQFkUjYzOn8

 

 

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02 mai 2018

Un peu de géométrie en dimension 4

quatrieme dimension

 

 

Dans l'un de nos derniers problèmes (paru en décembre 2017 sur le blog) intervenait le lien entre les volumes V1 d'un cône et V2 d'un cylindre de même base et même hauteur dans l'espace euclidien de dimension 3:

V1 =(1/3)V2

 

En dimension 2, le "cylindre" est un rectangle et le "cône" un triangle. Si on appelle A1 et A2 les aires respectives d'un "cylindre" et d'un "cône" du plan de même base et de même hauteur, nous avons cette fois:

A1=(1/2)A2

D'où cette question qui vient naturellement:

En dimension 4 soit un hyper-cône et un hyper-cylindre d'hyper-base la même boule et de même "hauteur" pour la quatrième dimension. En notant W1 et W2 leur hyper-volume, a-t-on la relation suivante?

 

W1=(1/4)W2

 

Et si c'est le cas, cela se généralise-t-il dans un espace euclidien de dimension n:

A-t-on W1=(1/n)W2 pour les hyper-volumes des hyper-cônes et hyper-cylindres de même base hypersphérique et même "hauteur" pour la nième dimension?

 

 

 

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11 avril 2018

Classe exceptionnelle agrégés

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Les 19 et 20 mars derniers, une commission a selectionné parmi les professeurs agrégés hors classe "éligibles" ceux qui accéderaient à la classe exceptionnelle pour la première campagne de ce nouveau grade. 

Certains candidats se sont aperçus que l'âge du candidat semblait un élèment très important pris en compte: pour le premier vivier, 100% des plus de 60 ans y accèdaient, tandis que pour ceux qui avaient autour de 50 ans, les chances étaient beaucoup plus faibles.

 Voilà par exemple un échange trouvé sur un forum du net consacré à cette classe exceptionnelle (https://blog.juliendelmas.fr/?profs-quand-passerez-vous-a-la-classe-exceptionnelle&debut_comments-list=100#pagination_comments-list) 

Le 21 mars à 08:51par MARTINE D.

Bonjour, A tous les agreges qui passaient en CAPN hier . Avez vous eu vos resultats , notamment si certains sont en superieur . meme syndiquee au SNESUP je n ai rien .
Cependant voila les infos dont je dispose : 
Deja il ya 100 postes de plus que prevu et moins d eligibles au vivier 1 1267 et 357 au vivier 2
Pour le vivier 1, les plus de 60 ans , tous ont ete promus, entre 55 et 60 91 % ( je suis dans cette tranche avec 135 de bareme et herve ci dessus a ete promu avec 126 , meme tranche d’age ) , par contre entre 50 et 55 ans 50 % et moins de 50 ans 30 % .
Herve du forum, 55 ans a ete promu avec un bareme de 126

Donc , on devrait , sauf si moins de 55 ans etre promus mais la aussi dans l information il y a des differences de traitement :))))

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  • #^Le 21 mars à 09:06par Marie

    Donc quand on nous dit que l’age n’est pas un critère... bref.

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    • #^Le 21 mars à 11:42par Eric

      L’âge est forcement un critère puisque les points d’ancienneté dans le grade en sont la conséquence directe. Et puis maintenant c’est normal qu’à barème égal on favorise le plus vieux. C’est une règle générale. Les plus jeunes n’ont qu’à attendre, pour les plus vieux, par définition, ils ne peuvent plus attendre, ou beaucoup moins.

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      • #^Le 21 mars à 11:58par Marie

        Non, cela dépend de la carrière de chacun, l’ancienneté dans le grade n’est pas toujours liée à l’âge. Et là on ne parle pas de départager des personnes à barème égal, on parle de pourcentages sur une classe d’âge, ce n’est pas du tout la même chose ! Mais bon, ce qui m’énerve c’est l’hypocrisie de dire que l’âge serait un critère discriminant qui ne peut pas être pris en compte alors que dans les faits on constate que c’est bien l’âge qui détermine tout dans certaines académies et finalement à la CAPN aussi.

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        • #^Le 21 mars à 12:27par Eric

          Mécaniquement, la règle « à barème égal on privilégie le plus vieux » plus le fait qu’on a plus de chances d’avoir plus de points d’ancienneté dans le grade à 60 ans qu’à 50 (par exemple) entraîne ces différences de pourcentage. Un excellent exercice de simulation probabiliste à faire.

           

           

           

          Il s'agit de faire la simulation proposée par Eric pour vérifier si les chiffres donnés sont normaux comme il le pense, ou si il y a eu une surevaluation qui augmente sensiblement les chances des plus agés, en dehors du jeu normal des points d'ancienneté, comme le pense Marie.

          Pour cela on partira sur les données suivantes: 

          Quel que soit l'age, la probabilité d'avoir avis "Excellent" (qui donne droit à 140 points) est de 0,2, celle d'avoir avis "Très satisfaisant" (90 points) est de 0,8.

          Les points d'ancienneté suivent la grille suivante:

          Échelon et ancienneté au 1/9/2017Points liés à l’ancienneté
          2e échelon hcl sans ancienneté 3
          2e échelon hcl ancienneté comprise entre 1 jour et 11 mois 29 jours 6
          2e échelon hcl ancienneté comprise entre 1 an et 1 an 11 mois 29 jours 9
          3e échelon hcl sans ancienneté 12
          3e échelon hcl ancienneté comprise entre 1 jour et 11 mois 29 jours 15
          3e échelon hcl ancienneté comprise entre 1 an et 1 an 11 mois 29 jours 18
          3e échelon hcl ancienneté comprise entre 2 ans et 2 ans 11 mois 29 jours 21
          4e échelon hcl sans ancienneté 24
          4e échelon hcl ancienneté comprise entre 1 jour et 11 mois 29 jours 27
          4e échelon hcl ancienneté comprise entre 1 an et 1 an 11 mois 29 jours 30
          4e échelon hcl ancienneté comprise entre 2 ans et 2 ans 11 mois 29 jours 33
          4e échelon hcl ancienneté comprise entre 3 ans et 3 ans 11 mois 29 jours 36
          4e échelon hcl ancienneté comprise entre 4 ans et 4 ans 11 mois 29 jours 39
          4e échelon hcl ancienneté comprise entre 5 ans et 5 ans 11 mois 29 jours 42
          4e échelon hcl ancienneté comprise entre 6 ans et 6 ans 11 mois 29 jours 45
          4e échelon hcl ancienneté égale ou supérieure à 7 ans 48
          Pour simplifier (et c'est certainement proche de la réalité), on supposera que les âges des eligibles du premier vivier sont répartis suivant une loi normale de moyenne 56 et d'écart-type 3. On supposera aussi toujours pour le premier vivier que la probabilité d'avoir 3 points d'ancienneté à 48 ans et moins est de 1 (donc de 0 pour les valeurs supérieures du barème) et celle d'avoir 48 points d'ancienneté à 65 ans et plus est de 1 ( donc 0 pour les valeurs inférieures du barème).

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14 décembre 2017

Cône et cylindre

cone

Démontrer par des moyens purement géométriques (sans utiliser par exemple l'intégrale) que le volume d'un cône est le tiers du volume du cylindre de même base et de même hauteur.

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08 septembre 2017

Précisions de Jean Marc GINOUX

NEUROCHIR-Scoliose

Pour ma part, je n’ai travaillé avec le Dr de Mauroy que sur la scoliose chez l’adolescent. 

L’argumentation développée par le Dr de Mauroy était à ce sujet la suivante : 

A un instant donné t1 (une date d1) un adolescent est vu par un médecin orthopédique spécialisé dans la déformation vertébrale. 

Le médecin effectue des mesures de la déformation de la colonne de cet adolescent. Il a donc à l’instant t1 un ensemble de conditions initiales relatives aux positions de chacune de ses vertèbres relevées à l’aide d’un scanner tridimensionnel. Le médecin prescrit alors un traitement (kinésithérapie, corset, …) pour remédier à cette déformation.  

Dans la majorité des cas analysés, le traitement est un échec et aggrave parfois la pathologie. Pourquoi ? 

D’après le Dr de Mauroy et cautionné par moi (pour reprendre votre expression et je confirme je cautionne), l’ensemble de conditions initiales relevées lors de la première visite à l’instant t1 présente un certain nombre d’incertitudes relatives à la position des vertèbres. L’évolution de la scoliose n’est PAS contrairement à ce l’on croit déterministe (et non pas déterministique). Je me permets de vous en rappeler la définition (je sais que vous le savez mais pour que nous soyons d’accord sur la définition). Nous parlons bien ici (vous et moi) du déterminisme au sens du Marquis Pierre Simon de Laplace : 

« Capacité à « prédire » le futur d’un phénomène à partir d’un évènement passé ou présent. » 

L’idée du Dr de Mauroy est que l’on ne peut pas prédire comment va évoluer la scoliose chez un adolescent parce que cette pathologie présente une sensibilité aux conditions initiales. Comment l’a-t-il vérifié ? 

En comparant deux adolescents vus aux mêmes instants t1 (mêmes dates) et présentant les mêmes caractéristiques (même sexe, même âge, même IMC, etc…) (je crois me rappeler que c’était des jumeaux) et surtout ayant un même ensemble de conditions initiales concernant les positions relatives de leurs vertèbres (enfin presque). C’est-à-dire, qu’il existait entre ces deux ensembles de toute petites différences. Le Dr. de Mauroy a donc observé lors de la seconde visite à un instant t2 (une date D2) que les scolioses de ces deux adolescents avaient évolué de deux manières complètement différentes. 

Il a ensuite vérifié ceci sur un nombre très important de cas et cela l’a conduit à faire le rapprochement avec la théorie du chaos. Incontestablement, tous les cas qu’il a analysés présentaient une sensibilité aux conditions initiales qui est une des signatures du chaos.

Il s’est alors intéressé à l’évolution du phénomène qui est également non linéaire. En effet, je ne vous apprendrai rien en vous disant qu’un adolescent ne grandit pas d’un centimètre par mois durant toute son adolescence. Par conséquent l’évolution du phénomène suit une loi qui ne peut en aucun cas être représentée par des fonctions linéaires du temps. La présence de non linéarités est nécessaire mais non suffisante pour qu’un phénomène soit chaotique.

Enfin, depuis les travaux de Li et Yorke en 1975 « Period Three Implies Chaos » nous savons que le chaos ne peut exister que dans un système à trois variables. Le cas de l’évolution de la scoliose est bien celui d’un système à trois variables d’espace (X, Y, Z). Selon le Dr. De Mauroy, la colonne vertébrale se déforme comme une hélice.  

Donc pour résumer, l’évolution de la scoliose idiopathique chez l’adolescent : 

-          présente une certaine sensibilité aux conditions initiales,

-          est représentée par une fonction non linéaire du temps,

-          implique trois variables d’espace (x, y, z)

 

Ces trois caractéristiques sont bien celles d’un phénomène chaotique. A ce titre j’avais confirmé et je confirme toujours que l’évolution de la scoliose idiopathique chez l’adolescent est chaotique.

Les contre-exemples que vous présentez dans votre blog sont ceux de personnes adultes présentant des lombalgies. Je ne saurais me prononcer de façon aussi définitive sur cette problématique que je n’ai pas analysée.

Le Dr de Mauroy et moi-même sommes ouverts à la critique et à la réflexion sur de nouvelles pistes de recherches. 

Nous vous remercions de nous avoir fait part de vos critiques. J’espère que ma réponse vous aura éclairé sur cette question.

Jean-Marc Ginoux

Maître de conférences (HDR), Université de Toulon (UTLN), Docteur en Mathématiques Appliquées (UTLN), Docteur en Histoire des Sciences (IMJ, UPMC), Laboratoire LSIS, CNRS UMR 7296, Archives Henri Poincaré, CNRS UMR 7117. 

http://ginoux.univ-tln.fr

 https://www.researchgate.net/profile/Jean-Marc_Ginoux

https://www.amazon.fr/Jean-Marc-Ginoux/e/B008MCY6G2/ref=dp_byline_cont_book_1

 

 

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06 septembre 2017

Lumbago et théorie du chaos.

lumbago

 

Je me suis fait recemment un "bon" lumbago. Comme beaucoup le font quand ils ont un ennui de santé, je suis allé voir sur internet ce qu'on disait de ce syndrome et sur son traitement.

J'y ai notamment découvert quelque chose qui m'a beaucoup surpris: la clinique du Parc (Lyon), internationalement réputée pour tout ce qui est traitement des lésions de la colonne vertébrale, a developpé sur son site toute une page qui associe l'apparition des scolioses et celle des lombalgies aiguës (= lumbago ou "tour de rein") à la théorie du chaos.

Voici le lien de cette page: 

http://www.demauroy.net/chaos_deterministique.htm

Je résume ci-dessous l'argumentation de l'auteur (le Docteur De Mauroy) validée par un mathématicien ( Jean-Marc Ginoux, docteur en mathématiques appliquées, actuellement à l'Université de Toulon) :

Il fait d'abord la différence entre le "raisonnement linéaire" et le "raisonnement chaotique":

Pour le "raisonnement linéaire":

La situation antérieure est une situation d'équilibre stable. Toute perturbation n'est que passagère et nous permet de revenir à l'état antérieur. Comparaison avec un système de billes attachées par des fils côte à côte sur une même potence: Le choc dur sur une bille attachée à un fil revient à son point initial.C'est la situation habituelle en traumatologie.

Pour le raisonnement chaotique: 

La situation antérieure est une situation d'équilibre instable, les structures anatomiques du rachis sont en perpétuelle évolution et une fois les perturbations terminées, nous ne pouvons plus revenir en arrière. Comparaison avec le choc sur une bille en équilibre sur le sommet d'une pyramide:Toute poussée sur la bille aura pour effet de provoquer un changement irréversible d'équilibre. C'est une situation fréquente en orthopédie. Il faut raisonner en terme d'instabilité. L'équilibre entre les différentes structures musculaires, ligamentaires, osseuses est plus important que la structure elle même. Par exemple, le rôle du traitement orthopédique conservateur est de faciliter cette ré harmonisation naturelle.

D'après le docteur De Mauroy et validé par le mathématicien Ginoux, la lombalgie est, avec la scoliose, la représentation concrète du chaos appliquée au rachis puisqu'on y a un système:

- ouvert (échanges permanents avec l'extérieur)

- complexe (origine multifactorielle)

- imprévisible (évolution par seuils)

- très sensible aux conditions initiales (effet papillon)

- déterministique (non du au hasard)

- modélisable avec convergence vers un nouvel état de stabilité.

C'est résumé par ce "théorème":

Lthéorie du chaos déterministique trouve toute son application dans la LOMBALGIE AIGUË. Les schémas linéaires ayant tous fait faillite. La lombalgie est très sensible aux conditions initiales surtout centrale. Stress, anxiété, inattention sont souvent plus importants que les facteurs mécaniques dans le déclenchement d'une lombalgie. L'incertitude évolutive et le passage à la chronicité sont caractéristiques de la lombalgie.

Théorème qui débouche sur le corollaire suivant:

En situation chaotique, le traitement symptomatique n'a pas de sens. On ne va pas à la chasse au papillon pour éviter la tornade au Texas.  Pour les lombalgies, tous les traitements classiques symptomatiques donnent environ 80 % de bons résultats, comme d'ailleurs l'absence de traitement. S'il y avait un traitement efficace pour toutes les lombalgies, cela se saurait et il serait universellement utilisé.

Et qui est détaillé et developpé ailleurs sur le site de cette manière:

L'échec de la prise en charge des lombalgies chroniques est souvent lié à son évolution chaotique (non linéaire) et à la difficulté de mettre en évidence une instabilité mécanique.

Quelques aphorismes :

  1. La lombalgie n'est pas une maladie, c'est un signal d'alarme et une ceinture de sécurité pour la colonne vertébrale. Prendre un antalgique, c'est comme conduire sans ceinture de sécurité.
  2. Il n'y a pas de corrélation entre l'image radiologique et la symptomatologie clinique. Faire un scanner ou une résonance magnétique ne constituent pas un traitement de la lombalgie.
  3. Le repos est généralement contre-indiqué et ralentit fortement la reprise. L'arrêt de travail supérieur à 3 semaines (temps de cicatrisation d'un ligament) n'a pas de sens ; la colonne est un flexible fait pour être en mouvement. Lorsque l'immobilisation du rachis lombaire est indiquée, il faut utiliser le lombostat tout en continuant une activité normale.
  4. Les traitements médicamenteux sont peu efficaces car le disque intervertébral n'est pas vascularisé.
  5. Le traitement orthopédique conservateur doit être envisagé après 2 mois d'échec des traitements classiques. Il faut répondre à une lombalgie mécanique par une solution mécanique (décharge de 30% des pressions). Il s'agit d'une urgence, car le nerf a une mémoire et un dysfonctionnement mécanique évolue rapidement vers l'hypersensibilité locale.

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Quelques commentaires personnels sur "lombalgies et théorie du chaos".

Quelques faits, d'ailleurs signalés par les auteurs présentés dans l'article précédent, vont à l'encontre de cette théorie du chaos auquelle obéirait la lombalgie:

  • Le poids socio-économique de l'invalidité pour lombalgies chroniques est en augmentation exponentielle dans les pays industrialisés. Aux Etats Unis entre les années 1960 et 1980 l'invalidité lombalgique a augmenté 14 fois plus vite que la population et son coût a été multiplié par 27 (alors que le coût de l'invalidité toutes causes confondues n'était multiplié que par 3,5). Parallèlement, les sommes consacrées à la prévention n'ont jamais été aussi importantes.

  • la fréquence de la lombalgie est moindre dans la population rurale alors que les contraintes physiques professionnelles sont plus importantes que dans une population urbanisée.

Si l'apparition, puis son évolution et son éventuelle disparition, d'une lombalgie étaient purement "chaotiques", comment expliquer ce qui précède? L'homme de 1980 a moins de chance que celui de 1960 et la cause infime qui conduirait au lumbago ou pas va toujours dans le sens d'un plus grand risque au fur et à mesure des années?

Ce serait contradictoire. De même, pour le fait de vivre à la campagne ou pas.

Personnellement, j'avance cette explication, qui n'a rien de "chaotique": l'homme de 1960, comme d'ailleurs le campagnard actuel, a beaucoup plus d'occasions de muscler ses dorsaux que l'homme de 1980, a fortiori de 2017, ou que le citadin: jardinage, moins de voitures, moins de positions assises, utilisation d'outils manuels comme la pioche ou la bêche pour les hommes, le battoir pour les femmes, bien moins de sédentarisation, etc...

Si les dorsaux sont musclés, le lumbago se produit bien moins facilement, et quand il se produit, peut se résorber puisque la musculature est présente. Sauf si bien sûr on continue à trop forcer. S'ils ne sont que peu sollicités, le lumbago apparaît dès qu'on fait un effort de la colonne un peu excessif et ensuite, les muscles dorsaux n'étant pas developpés, réapparaît facilement et de manière chronique, même si on ne force pas, ou très peu.

Cette explication est validée par mon expérience personnelle, même si je sais qu'en la matière un exemple est loin de suffire: j'ai toujours fait travailler mes dorsaux, et s'il m'arrive d'avoir des lumbagos, j'en guéris vite et durablement. Le dernier, je l'ai "senti venir" car je savais que je sollicitais trop mon dos: je voulais absolument "mettre à plat" le jardin de la maison familiale avant mon départ pour la Guyane, et, mon temps étant limité, j'ai dû forcer. Quand j'ai eu ce lumbago, j'étais tout sauf étonné.

Du "chaos" là-dedans, de "l'effet papillon"? Assurément non!

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