Le Blog des mathématiques concrètes.

14 décembre 2017

Cône et cylindre

cone

Démontrer par des moyens purement géométriques (sans utiliser par exemple l'intégrale) que le volume d'un cône est le tiers du volume du cylindre de même base et de même hauteur.

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08 septembre 2017

Précisions de Jean Marc GINOUX

NEUROCHIR-Scoliose

Pour ma part, je n’ai travaillé avec le Dr de Mauroy que sur la scoliose chez l’adolescent. 

L’argumentation développée par le Dr de Mauroy était à ce sujet la suivante : 

A un instant donné t1 (une date d1) un adolescent est vu par un médecin orthopédique spécialisé dans la déformation vertébrale. 

Le médecin effectue des mesures de la déformation de la colonne de cet adolescent. Il a donc à l’instant t1 un ensemble de conditions initiales relatives aux positions de chacune de ses vertèbres relevées à l’aide d’un scanner tridimensionnel. Le médecin prescrit alors un traitement (kinésithérapie, corset, …) pour remédier à cette déformation.  

Dans la majorité des cas analysés, le traitement est un échec et aggrave parfois la pathologie. Pourquoi ? 

D’après le Dr de Mauroy et cautionné par moi (pour reprendre votre expression et je confirme je cautionne), l’ensemble de conditions initiales relevées lors de la première visite à l’instant t1 présente un certain nombre d’incertitudes relatives à la position des vertèbres. L’évolution de la scoliose n’est PAS contrairement à ce l’on croit déterministe (et non pas déterministique). Je me permets de vous en rappeler la définition (je sais que vous le savez mais pour que nous soyons d’accord sur la définition). Nous parlons bien ici (vous et moi) du déterminisme au sens du Marquis Pierre Simon de Laplace : 

« Capacité à « prédire » le futur d’un phénomène à partir d’un évènement passé ou présent. » 

L’idée du Dr de Mauroy est que l’on ne peut pas prédire comment va évoluer la scoliose chez un adolescent parce que cette pathologie présente une sensibilité aux conditions initiales. Comment l’a-t-il vérifié ? 

En comparant deux adolescents vus aux mêmes instants t1 (mêmes dates) et présentant les mêmes caractéristiques (même sexe, même âge, même IMC, etc…) (je crois me rappeler que c’était des jumeaux) et surtout ayant un même ensemble de conditions initiales concernant les positions relatives de leurs vertèbres (enfin presque). C’est-à-dire, qu’il existait entre ces deux ensembles de toute petites différences. Le Dr. de Mauroy a donc observé lors de la seconde visite à un instant t2 (une date D2) que les scolioses de ces deux adolescents avaient évolué de deux manières complètement différentes. 

Il a ensuite vérifié ceci sur un nombre très important de cas et cela l’a conduit à faire le rapprochement avec la théorie du chaos. Incontestablement, tous les cas qu’il a analysés présentaient une sensibilité aux conditions initiales qui est une des signatures du chaos.

Il s’est alors intéressé à l’évolution du phénomène qui est également non linéaire. En effet, je ne vous apprendrai rien en vous disant qu’un adolescent ne grandit pas d’un centimètre par mois durant toute son adolescence. Par conséquent l’évolution du phénomène suit une loi qui ne peut en aucun cas être représentée par des fonctions linéaires du temps. La présence de non linéarités est nécessaire mais non suffisante pour qu’un phénomène soit chaotique.

Enfin, depuis les travaux de Li et Yorke en 1975 « Period Three Implies Chaos » nous savons que le chaos ne peut exister que dans un système à trois variables. Le cas de l’évolution de la scoliose est bien celui d’un système à trois variables d’espace (X, Y, Z). Selon le Dr. De Mauroy, la colonne vertébrale se déforme comme une hélice.  

Donc pour résumer, l’évolution de la scoliose idiopathique chez l’adolescent : 

-          présente une certaine sensibilité aux conditions initiales,

-          est représentée par une fonction non linéaire du temps,

-          implique trois variables d’espace (x, y, z)

 

Ces trois caractéristiques sont bien celles d’un phénomène chaotique. A ce titre j’avais confirmé et je confirme toujours que l’évolution de la scoliose idiopathique chez l’adolescent est chaotique.

Les contre-exemples que vous présentez dans votre blog sont ceux de personnes adultes présentant des lombalgies. Je ne saurais me prononcer de façon aussi définitive sur cette problématique que je n’ai pas analysée.

Le Dr de Mauroy et moi-même sommes ouverts à la critique et à la réflexion sur de nouvelles pistes de recherches. 

Nous vous remercions de nous avoir fait part de vos critiques. J’espère que ma réponse vous aura éclairé sur cette question.

Jean-Marc Ginoux

Maître de conférences (HDR), Université de Toulon (UTLN), Docteur en Mathématiques Appliquées (UTLN), Docteur en Histoire des Sciences (IMJ, UPMC), Laboratoire LSIS, CNRS UMR 7296, Archives Henri Poincaré, CNRS UMR 7117. 

http://ginoux.univ-tln.fr

 https://www.researchgate.net/profile/Jean-Marc_Ginoux

https://www.amazon.fr/Jean-Marc-Ginoux/e/B008MCY6G2/ref=dp_byline_cont_book_1

 

 

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06 septembre 2017

Lumbago et théorie du chaos.

lumbago

 

Je me suis fait recemment un "bon" lumbago. Comme beaucoup le font quand ils ont un ennui de santé, je suis allé voir sur internet ce qu'on disait de ce syndrome et sur son traitement.

J'y ai notamment découvert quelque chose qui m'a beaucoup surpris: la clinique du Parc (Lyon), internationalement réputée pour tout ce qui est traitement des lésions de la colonne vertébrale, a developpé sur son site toute une page qui associe l'apparition des scolioses et celle des lombalgies aiguës (= lumbago ou "tour de rein") à la théorie du chaos.

Voici le lien de cette page: 

http://www.demauroy.net/chaos_deterministique.htm

Je résume ci-dessous l'argumentation de l'auteur (le Docteur De Mauroy) validée par un mathématicien ( Jean-Marc Ginoux, docteur en mathématiques appliquées, actuellement à l'Université de Toulon) :

Il fait d'abord la différence entre le "raisonnement linéaire" et le "raisonnement chaotique":

Pour le "raisonnement linéaire":

La situation antérieure est une situation d'équilibre stable. Toute perturbation n'est que passagère et nous permet de revenir à l'état antérieur. Comparaison avec un système de billes attachées par des fils côte à côte sur une même potence: Le choc dur sur une bille attachée à un fil revient à son point initial.C'est la situation habituelle en traumatologie.

Pour le raisonnement chaotique: 

La situation antérieure est une situation d'équilibre instable, les structures anatomiques du rachis sont en perpétuelle évolution et une fois les perturbations terminées, nous ne pouvons plus revenir en arrière. Comparaison avec le choc sur une bille en équilibre sur le sommet d'une pyramide:Toute poussée sur la bille aura pour effet de provoquer un changement irréversible d'équilibre. C'est une situation fréquente en orthopédie. Il faut raisonner en terme d'instabilité. L'équilibre entre les différentes structures musculaires, ligamentaires, osseuses est plus important que la structure elle même. Par exemple, le rôle du traitement orthopédique conservateur est de faciliter cette ré harmonisation naturelle.

D'après le docteur De Mauroy et validé par le mathématicien Ginoux, la lombalgie est, avec la scoliose, la représentation concrète du chaos appliquée au rachis puisqu'on y a un système:

- ouvert (échanges permanents avec l'extérieur)

- complexe (origine multifactorielle)

- imprévisible (évolution par seuils)

- très sensible aux conditions initiales (effet papillon)

- déterministique (non du au hasard)

- modélisable avec convergence vers un nouvel état de stabilité.

C'est résumé par ce "théorème":

Lthéorie du chaos déterministique trouve toute son application dans la LOMBALGIE AIGUË. Les schémas linéaires ayant tous fait faillite. La lombalgie est très sensible aux conditions initiales surtout centrale. Stress, anxiété, inattention sont souvent plus importants que les facteurs mécaniques dans le déclenchement d'une lombalgie. L'incertitude évolutive et le passage à la chronicité sont caractéristiques de la lombalgie.

Théorème qui débouche sur le corollaire suivant:

En situation chaotique, le traitement symptomatique n'a pas de sens. On ne va pas à la chasse au papillon pour éviter la tornade au Texas.  Pour les lombalgies, tous les traitements classiques symptomatiques donnent environ 80 % de bons résultats, comme d'ailleurs l'absence de traitement. S'il y avait un traitement efficace pour toutes les lombalgies, cela se saurait et il serait universellement utilisé.

Et qui est détaillé et developpé ailleurs sur le site de cette manière:

L'échec de la prise en charge des lombalgies chroniques est souvent lié à son évolution chaotique (non linéaire) et à la difficulté de mettre en évidence une instabilité mécanique.

Quelques aphorismes :

  1. La lombalgie n'est pas une maladie, c'est un signal d'alarme et une ceinture de sécurité pour la colonne vertébrale. Prendre un antalgique, c'est comme conduire sans ceinture de sécurité.
  2. Il n'y a pas de corrélation entre l'image radiologique et la symptomatologie clinique. Faire un scanner ou une résonance magnétique ne constituent pas un traitement de la lombalgie.
  3. Le repos est généralement contre-indiqué et ralentit fortement la reprise. L'arrêt de travail supérieur à 3 semaines (temps de cicatrisation d'un ligament) n'a pas de sens ; la colonne est un flexible fait pour être en mouvement. Lorsque l'immobilisation du rachis lombaire est indiquée, il faut utiliser le lombostat tout en continuant une activité normale.
  4. Les traitements médicamenteux sont peu efficaces car le disque intervertébral n'est pas vascularisé.
  5. Le traitement orthopédique conservateur doit être envisagé après 2 mois d'échec des traitements classiques. Il faut répondre à une lombalgie mécanique par une solution mécanique (décharge de 30% des pressions). Il s'agit d'une urgence, car le nerf a une mémoire et un dysfonctionnement mécanique évolue rapidement vers l'hypersensibilité locale.

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Quelques commentaires personnels sur "lombalgies et théorie du chaos".

Quelques faits, d'ailleurs signalés par les auteurs présentés dans l'article précédent, vont à l'encontre de cette théorie du chaos auquelle obéirait la lombalgie:

  • Le poids socio-économique de l'invalidité pour lombalgies chroniques est en augmentation exponentielle dans les pays industrialisés. Aux Etats Unis entre les années 1960 et 1980 l'invalidité lombalgique a augmenté 14 fois plus vite que la population et son coût a été multiplié par 27 (alors que le coût de l'invalidité toutes causes confondues n'était multiplié que par 3,5). Parallèlement, les sommes consacrées à la prévention n'ont jamais été aussi importantes.

  • la fréquence de la lombalgie est moindre dans la population rurale alors que les contraintes physiques professionnelles sont plus importantes que dans une population urbanisée.

Si l'apparition, puis son évolution et son éventuelle disparition, d'une lombalgie étaient purement "chaotiques", comment expliquer ce qui précède? L'homme de 1980 a moins de chance que celui de 1960 et la cause infime qui conduirait au lumbago ou pas va toujours dans le sens d'un plus grand risque au fur et à mesure des années?

Ce serait contradictoire. De même, pour le fait de vivre à la campagne ou pas.

Personnellement, j'avance cette explication, qui n'a rien de "chaotique": l'homme de 1960, comme d'ailleurs le campagnard actuel, a beaucoup plus d'occasions de muscler ses dorsaux que l'homme de 1980, a fortiori de 2017, ou que le citadin: jardinage, moins de voitures, moins de positions assises, utilisation d'outils manuels comme la pioche ou la bêche pour les hommes, le battoir pour les femmes, bien moins de sédentarisation, etc...

Si les dorsaux sont musclés, le lumbago se produit bien moins facilement, et quand il se produit, peut se résorber puisque la musculature est présente. Sauf si bien sûr on continue à trop forcer. S'ils ne sont que peu sollicités, le lumbago apparaît dès qu'on fait un effort de la colonne un peu excessif et ensuite, les muscles dorsaux n'étant pas developpés, réapparaît facilement et de manière chronique, même si on ne force pas, ou très peu.

Cette explication est validée par mon expérience personnelle, même si je sais qu'en la matière un exemple est loin de suffire: j'ai toujours fait travailler mes dorsaux, et s'il m'arrive d'avoir des lumbagos, j'en guéris vite et durablement. Le dernier, je l'ai "senti venir" car je savais que je sollicitais trop mon dos: je voulais absolument "mettre à plat" le jardin de la maison familiale avant mon départ pour la Guyane, et, mon temps étant limité, j'ai dû forcer. Quand j'ai eu ce lumbago, j'étais tout sauf étonné.

Du "chaos" là-dedans, de "l'effet papillon"? Assurément non!

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27 juin 2017

Deux approches bien différentes...

concernant le problème du coureur de 1500:

Celle de Thierry, qui est professeur de physique:

 Il est parti du cas d'un athlète d'un certain âge qui fait 6mn au 1500 et qui pèse 80kg: quel temps fera-t-il s'il pèse 81kg?

Voilà sa solution:

GEDC0017

 Solution à laquelle il a rajouté ces compléments:

Si nous gardons identique la puissance du coureur à chaque bond ainsi que son angle d’élévation, les variables seront la masse m, sa vitesse v et le temps t du parcours.

Les calculs montrent que t et m sont  proportionnels : m varie  de 70 à 71kg et donc t de 275s à 280s soit un écart de 5s.

Dans la réalité l’angle d’élévation permet d’allonger la foulée et la tangente de cette angle est par contre inversement proportionnelle à la masse.

Tan30=0,577  et tan31=0,600 on voit que la variation de 1 degré a son importance.

Tout cela pour dire que 5s par kg n’est valable que sur un intervalle centré sur la masse optimale du coureur.

Je partage totalement le point de vue d’Eric : la physique est une forme de mathématique appliquée.

Généralement le physicien propose un modèle du phénomène pour qu’il cadre avec les outils mathématiques.

J’ai supposé  ici que le coureur effectue une multitude de bonds identiques.

 

Voilà comment personnellement j'analyse la situation:

 

La quantité d’énergie E  dont dispose l’athlète est dans les deux cas la même.

A quoi sert cette énergie ?

D’abord au moment de la poussée, au début de chaque foulée :

1-      Pour déplacer son centre de gravité horizontalement : énergie dépensée proportionnelle à sa masse et au cosinus de l’angle a d’attaque du pied par rapport au sol au moment de la poussée(voir la figure 1)

2-      Pour déplacer son centre de gravité verticalement: énergie dépensée proportionnelle à sa masse et au sinus de l’angle a d’attaque du pied par rapport au sol au moment de la poussée (voir la figure 1).

 

Ensuite au moment de l’amortissement, à la fin de chaque foulée (voir figure 2) :

3-      Pour absorber le choc à la réception au sol : proportionnel à la masse et au sinus de l’angle b que fait le pied de réception avec le sol (voir figure 2). On pourra supposer que a=b, ce qui est sensiblement la réalité lorsqu’on observe un athlète courir.

 Ensuite pour la période intermédiaire de soutien, entre la réception et la poussée (voir figure 3)

 4-      Pour se maintenir debout : proportionnel à la masse de l’athlète.

  

Enfin  pour lutter contre le freinage provoqué par  l’air :

5-      Cette dernière  énergie dépensée par l’athlète est  proportionnelle à la surface de prise au vent et au carré de la vitesse et n’est donc  pas modifiée par le changement de poids de l’athlète (du moins pour un seul kg, pour 10kg cela commencerait à jouer un rôle car l’athlète n’aurait certainement  plus la même silhouette, donc plus le même aérodynamisme).

Donc pour  les quatre seuls points où la déperdition d’énergie sera modifiée par le changement de poids de l’athlète, cette déperdition sera proportionnelle à la masse, donc dans notre cas, le fait de passer de 70kg à 71kg entraine une déperdition supplémentaire de 1/71ème de l’énergie initiale.

Donc  en première approche,  le capital énergie E dont l’athlète dispose au début de sa course, dans le cas où il pèse 71kg,  sera complètement  épuisé au 70/71ème  de la course s’il reste sur la même vitesse que lorsqu’il pèse 70kg. Soit donc  quand il aura fait environ 1479 m. Ce qui l’oblige donc à ralentir légèrement son allure, pour pouvoir terminer les 21 m qu’il reste  pour faire le 1500. On peut  considérer par ailleurs que ce ralentissement est trop faible pour modifier sensiblement le freinage provoqué par l’air.

On en resterait là s’il s’agissait d’un cycliste, puisque de toute façon le nombre de tours de pédales serait le même dans les deux cas (qu’il pèse 70kg ou 71kg)

Mais ce n’est pas un cycliste, c’est un coureur, et à force de propulsion égale (notre hypothèse), sa foulée sera plus courte de 1/71ème puisque la hauteur maximale de cette foulée est inversement proportionnelle à sa masse, donc  sera elle-même diminuée de 1/71ème. Ce qui veut dire qu’il fera 1/71ème de foulées supplémentaires. Donc par exemple si sa foulée à 70kg est de 1,5m (foulée assez classique), sur un 1500m,  il fera 1000 foulées lorsqu’il pèse 70kg et environ 1014 foulées s’il pèse 71kg. 14 foulées de plus, donc 14 impacts au sol de plus, ce qui entame aussi son énergie initiale.

Donc en fait cela augmente encore  la déperdition d’énergie. Ce qui veut donc dire que s’il restait sur sa vitesse de lorsqu’il pèse 70kg, il aurait dilapidé complètement son énergie initiale, non pas à 21m de l’arrivée comme un cycliste, mais sans doute quelques mètres de plus avant la fin de son 1500 (étude plus pointue nécessaire  pour évaluer cette distance avec précision). Donc un ralentissement supplémentaire est nécessaire pour qu’il puisse terminer son 1500m.

Or si on se réferre à la règle utilisée dans les milieux du demi-fond, il passerait de 4mn 35s à environ 4mn40s. Sa vitesse moyenne étant d'environ 5m/s, cela correspond à un surplus de 25m environ, ce qui est tout-à-fait réaliste au regard des remarques précédentes. 

 

Les figures sont sur le document suivant:

Figure_1

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25 juin 2017

Le coureur de 1500.

Cette fois, il s'agit d'un problème touchant plus à la physique qu'aux maths. Mais après tout, les sciences physiques ne sont-elles pas des maths concrètes?

course de 1500

Dans les milieux de l'athlétisme, on dit souvent qu'à forme et entrainement égaux, un kg de plus, c'est environ 4 ou 5 secondes de plus sur un 1500m.

On demande de vérifier cela dans le cas suivant: 

Un athlète pesant 70kg a fait 4mn35s sur une course de 1500m.

Tout restant égal par ailleurs, quel temps fera-t-il s'il pèse 71 kg ?

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11 avril 2017

Le problème du camion-toupie.

camion-toupieLa toupie d'un camion-toupie est formée d'un cylindre de 1,5 m de rayon et de 1,3 m de hauteur, cylindre prolongé au niveau de ses deux bases par deux cones tronqués de petit rayon 1 m et de hauteur 1,3 m.

Cette toupie est inclinée de telle sorte que son axe ait une pente de 20% avec l'horizontale. Enfin, elle est emplie à 80% de béton.

On demande d'indiquer la position précise du niveau supérieur du béton dans la toupie ainsi que la forme précise du pourtour de ce niveau supérieur.

 

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23 mars 2017

Problème de partage.

un riche laboureur

 

Un Laboureur, sentant son décés très prochain

Fit venir ses sept fils, leur parla sans témoins.

"J'aimerai", leur dit-il,"que les sept parts soient égales

De ma propriété de forme polygonale.

Sachant que ce terrain est un quadrilatère

Et puis que vous ne disposez pour cela faire

Que d'une corde et d'un vieux centimètre en fer

Saurez-vous la partager en  lots d'un tenant?

Si oui, dans ma tombe je serais très content

d'avoir sept fils capables de se creuser tête

pour se partager le bien de leur riche ancêtre."

 

Sur une idée de Thierry, professeur de physique au lycée Damas.

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02 janvier 2017

Problème ouvert: majoration du pourcentage d'erreur commise par les GPS sur le calcul des longueurs.

Image-GPS

Les coureurs à pied et les cyclistes utilisant des montres GPS le savent: les longueurs données par leur GPS ne sont pas exactement les distances réelles qu'ils ont parcourues. Je m'en suis encore aperçu hier où j'ai fait deux fois la même boucle: la première fois, la longueur affichée par le GPS est de 4790m, la seconde de 4860m, ce qui fait quand même une différence de plus de 1%! 

Il y a plusieurs raisons à cela. On trouvera sur le lien suivant la description des principales:

http://www.montre-cardio-gps.fr/les-7-erreurs-que-fait-regulierement-votre-montre-gps/

 

Le problème est le suivant: On suppose que l'origine de l'erreur de calcul de la distance par rapport à la distance réelle ne provient que d'une seule raison: l'interpolation qui est faite de points GPS en points GPS, ces points étant émis toutes les secondes. On demande de majorer au mieux l'erreur que pourra commettre le GPS. Pour cela, on fera intervenir les trois paramètres suivants: la vitesse supposée constante du coureur, la longueur du parcours et sa sinuosité. On commencera par définir la "fonction sinuosité" caractérisant chaque parcours.

Il s'agit ici d'un problème ouvert: contrairement aux problèmes précédents donnés dans le blog, il n'a pas encore été résolu par les deux créateurs du blog

Nous espérons que cette nouvelle formule suscitera plus de réactions, car si notre blog est assez visité, et internationalement, nous observons que pour l'instant nous avons eu très peu de solutions proposées. 

 

Eric Zeltz

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30 juin 2016

Mathématiques et théologie.

 

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L'un des auteurs de ce blog est à la fois mathématicien et catholique pratiquant.

Il s'est forcément posé plus d'une fois la question de la conciliation possible ou pas des vérités scientifiques avec ce que proclame la foi catholique.

Cela est précisé à l'intérieur de l'un de ses ouvrages, intitulé "Une contre-athéologie chrétienne", ouvrage dont vous trouverez la présentation sur le lien suivant:

https://www.numilog.com/777016/Une-contre-atheologie-chretienne.ebook

Il y a notamment dans ce livre un chapitre qui précise le parallèle entre les sciences mathématiques et la théologie chrétienne, tel que le voit son auteur.

C'est encore une autre façon bien concrète, d'aborder et d'utiliser les mathématiques, et donc il nous paraît légitime d'en livrer le contenu dans ce blog. Vous le trouverez ci-dessous:

 

parall_le_math_matiques_et_th_ologie

 

Pour en donner le contexte, il s'agit d'un extrait de la première partie du livre qui est essentiellement une critique d'un ouvrage de Claude Allègre intitulé "Dieu face à la science".

La seconde partie, quant à elle, se confronte aux thèses de Michel Onfray, telles qu'il les a exprimées dans son célèbre "Traité d'athéologie".

 

Eric Zeltz

 

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