Problèmes de spaghetti.

Si vous saisissez un spaghetto (en italien, on dit un spaghetto, des spaghetti, en français c'est devenu un spaghetti, des spaghettis. Comme on a un strazzabosco sur le blog et qu'il n'est jamais devenu strazzabosci sous pretexte de nationalité française, par souci de cohérence nous préférons garder le point de vue italien), si donc vous saisissez un spaghetto par ses deux bouts et que vous le ployez, au bout d'un moment il y aura rupture. Cette rupture se fera toujours en plus de deux morceaux (phénomène expliqué physiquement et modélisé mathématiquement par une équipe de chercheurs français, il y a assez peu).

Video présentant cela sur http://hitek.fr/actualite/explication-scientifique-casser-spaghetti_4584

On a d'ailleurs le même phénomène quand un sauteur à la perche casse sa perche. C'est très rare, mais c'est arrivé par exemple à Renaud Lavillenie en 2011: heureusement, plus de peur que de mal!

Video sur https://www.youtube.com/watch?v=IMUCpFdwitk 

Ce phénomène nous a donné l'idée du premier problème suivant. 

Problème 1:

En supposant que les points de rupture se répartissent aléatoirement de manière uniforme sur toute la longueur du spaghetto, quelles sont les probabilités des évènements suivants:

1) En supposant qu'il y ait 3 morceaux, que ces trois morceaux puissent être les cotés d'un triangle.

2) En supposant qu'il y ait 4 morceaux, que ces quatre cotés puissent être les cotés d'un quadrilatère.

3) En supposant qu'il y ait n morceaux, que ces n morceaux puissent être les cotés d'un polygone à n cotés.

D'autre part, en se plaçant dans le premier cas (trois morceaux), nous avons demandé à des élèves de modéliser avec un tableur la situation:

Problème 2.

Première simulation proposée par les élèves:

Choisir a, nombre aléatoire compris entre 0 et 1, puis un nombre aléatoire b entre 0 et (1 - a)

Dans ce cas les côtés sont a, b et (1- a - b).

Sur un tableur, les simulations pour 10 000 simulations donnent des fréquences voisines de 0,18.

Deuxième simulation proposée

Choisir a nombre aléatoire compris entre 0 et 1, on pose b = 1 – a. On décide alors de partager le plus grand des deux.

Sur un tableur, les simulations pour 10 000 simulations donnent des fréquences voisines de 0,38 

Pouvez-vous trouver les réponses exactes pour ces deux types de sections ?