Un peu de géométrie en dimension 4

Dans l'un de nos derniers problèmes (paru en décembre 2017 sur le blog) intervenait le lien entre les volumes V1 d'un cône et V2 d'un cylindre de même base et même hauteur dans l'espace euclidien de dimension 3:

V1 =(1/3)V2

En dimension 2, le "cylindre" est un rectangle et le "cône" un triangle. Si on appelle A1 et A2 les aires respectives d'un "cylindre" et d'un "cône" du plan de même base et de même hauteur, nous avons cette fois:

A1=(1/2)A2

D'où cette question qui vient naturellement:

En dimension 4 soit un hyper-cône et un hyper-cylindre d'hyper-base la même boule et de même "hauteur" pour la quatrième dimension. En notant W1 et W2 leur hyper-volume, a-t-on la relation suivante?

W1=(1/4)W2

Et si c'est le cas, cela se généralise-t-il dans un espace euclidien de dimension n:

A-t-on W1=(1/n)W2 pour les hyper-volumes des hyper-cônes et hyper-cylindres de même base hypersphérique et même "hauteur" pour la nième dimension?

Comments

[mathsconcretes]

Voici la solution proposée en dimension n par un collègue de physique qui préfère rester anonyme:



La transformation proposée consiste à effectuer notamment une rotation autour d’un axe Ox d’une ‘base’ d’ un espace perpendiculaire à Oz Ox dont on augmente la dimension.



Pour le triangle, la base est sur Oy avec 0h. Pour le triangle R(x) diminue et s’annule pour x=h



R(x)=(h-x)R/h=(1-x/h)R . Pour calculer le volume de l’hyper cylindre de dimension n+1 : òbase´dx= ln Rn òdx= ln Rn h on intègre de x=0 à h



Pour calculer le volume de hyper cône de dimension n+1 : òbase´dx= ln òR(x)n dx= ln Rn ò (1-x/h)ndx =ln Rn [h (1-x/h)n+1]/(n+1)= ln Rn h/(n+1)



Pour tout n le rapport d’un hyper-cône sur un hyper-cylindre de même base de dimension n (hyper sphère) est 1/n+1