Le lanceur de javelot.

Au lancer du javelot, la mesure d'un essai se fait de la marque au sol du javelot jusqu'à la butée d'arrêt derrière laquelle se trouve le lanceur et qu'il ne peut dépasser sous peine que son lancer ne soit pas validé.

Mais, pour optimiser son lancer, le lanceur de javelot doit l'effectuer dans l'axe de symétrie de l'aire de lancement. Sinon la mesure du lancer sera inférieure à celle du lancer réel du fait que cette mesure n'est pas faite dans la direction qui rejoint la marque au lieu précis du lancement, mais vers  un point qui est situé 8 mètres derrière la butée. 

Voilà en effet le plan de l'aire de lancement du javelot tel qu'il est fourni par la Fédération Française d'Athlétisme:

Notons O le point situé 8 mètre derrière la butée et sur lequel est aligné la mesure du lancer à partir de la marque du javelot sur le sol. Le rayon du cercle sur lequel s'appuie la butée a donc pour rayon 8 m et pour  centre ce point  O. Les droites qui délimitent l'espace dans lequel le javelot doit tomber pour que le lancer puisse être validé sont elles mêmes alignées avec le point O. L'angle de sommet O formé par ces deux droites a pour mesure environ 29° (précisément 28,955°).

On suppose que le lanceur est positionné au moment du lancer au bord intérieur de la butée et sur l'axe de symétrie de l'aire de lancer. On notera par l la longueur effective du lancer et par a la mesure de l'angle formé par l'axe de son lancer et l'axe de symétrie de l'aire de lancer.

Soit f(a,l) la fonction donnant en fonction de a et de l le pourcentage de "perte" de la mesure effectuée par rapport à la longueur réelle parcourue par le javelot du lanceur jusqu'à la marque.

Par exemple, pour tout l, on a f(0,l)=0%.

On suppose que l est compris entre 20m et 100m (le record du monde actuel détenu par le Tchèque Jan Zelezny est de 98,48m).

1) Déterminer la valeur maximale Max de f. A quelle(s) position(s) de la marque du javelot dans l'aire du lancer est associé ce maximum?

2) Soit k un nombre réel compris entre 0 et Max et soit le plan muni d'un repère orthonormal (O;I,J) où l'axe (OI) est l'axe de symétrie de l'aire de lancer.

           a) Caractériser la ligne de niveau associée à k, c'est-à-dire la courbe formée des points M(x;y) dans le repère précédent, positions des marques et pour lesquels f(a,l)=k.

           b) Construire les lignes de niveaux pour k= 0, k=0,2, k=0,4, k=0,6, etc, autrement-dit pour des valeurs de k réparties de 0,2 en 0,2 et inférieures ou égales à Max.